2.4.2. Устойчивость по Ляпунову

Устойчивость по Ляпунову связана с воспроизводимостью отдельно взятой траектории. Для гиперболических особых точек устойчивость или неустойчивость определяется собственными значениями матрицы линеаризованной системы (системы первого приближения). Для периодических решений ту же роль играют мультипликаторы цикла или показатели Флоке, для непериодических решений – характеристические показатели Ляпунова.

Устойчивость особых точек. Особая точка автономной системы называется устойчивой (асимптотически устойчивой), если устойчиво (асимптотически устойчиво) соответствующее ей стационарное решение.

Определение 2.17. Стационарное решение автономной системы (решение тождественно равное особой точке) называется устойчивым по Ляпунову, если все решения этой системы с начальными условиями из достаточно малой окрестности особой точки определены на всей положительной полуоси времени и сходятся равномерно по времени к исследуемому стационарному решению при стремлении начального условия к указанной особой точке.

Другими словами, стационарное решение системы (1.1) устойчиво по Ляпунову, если для любого существует , такое что для всех решений системы (1.1) из следует для всех .

Определение 2.18. Стационарное решение автономной системы (1.1) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и, кроме того, все решения системы (1.1) с достаточно близкими к исследуемой особой точке начальными условиями стремятся к ней при , т. е. при .

Определение 2.19. Стационарное решение системы (1.1) называется экспоненциально устойчивым, если в условиях асимптотической устойчивости стремление решений системы (1.1) к особой точке экспоненциально, т.е. с некоторыми положительными постоянными и .

Устойчивость и асимптотическая устойчивость стационарных решений (особых точек) – локальное свойство векторного поля, задающего систему дифференциальных уравнений.

Теорема 2.5. (теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению). Если оператор линеаризации дифференцируемого векторного поля системы (1.1) в особой точке имеет собственные значения только с отрицательной вещественной частью, то эта особая точка асимптотически устойчива. Если одно из собственных значений оператора имеет положительную вещественную часть, то особая точка не устойчива по Ляпунову.

Определение 2.20. Дифференцируемая функция называется функцией Ляпунова для особой точки векторного поля , если она удовлетворяет следующим условиям:

‑ функция определена в некоторой окрестности и имеет в этой точке строгий локальный минимум;

‑ производная функции вдоль векторного поля в некоторой окрестности точки неположительна, т. е.

.

Теорема 2.6. Особая точка дифференцируемого векторного поля, для которой существует функция Ляпунова, устойчива.

Устойчивость периодического решения. По значениям мультипликаторов цикла или показателей Флоке линейной неавтономной системы (2.10) первого приближения можно сделать вывод об устойчивости периодического решения нелинейной автономной системы (1.1).

Определение 2.21. Предельный цикл называется орбитально асимптотически устойчивым (или просто устойчивым), если для сколь угодно малой его окрестности , все траектории, начинающиеся в ней, не выходят со временем из и неограниченно приближаются к циклу при .

Теорема 2.7. Один простой мультипликатор цикла всегда имеет значение , соответствующий показатель Флоке равен нулю. Если один показатель Флоке равен нулю, а остальные показатели имеют отрицательные вещественные части (или все мультипликаторы цикла, кроме единичного, имеют модули, меньше , то есть лежат внутри единичного круга плоскости комплексного переменного), то периодическое решение системы (1.1) устойчиво (орбитально асимптотически устойчиво). Если же хотя бы один показатель Флоке имеет положительную вещественную часть (или мультипликатор цикла лежит вне единичного круга), то периодическое решение системы (1.1) неустойчиво (Рис. 2.7).

Рис. 2.7. Предельные циклы:

а – устойчивый, б – неустойчивый.

В условиях сформулированной теоремы периодическое решение не только устойчиво, но каждое решение , лежащее вблизи его траекторий, обладает асимптотической фазой, т. е. существует постоянная такая, что

.

Производная исходного периодического решения нелинейной автономной системы (1.1) является одним из решений линейной неавтономной системы (2.10), так как

.

Поэтому единичный мультипликатор цикла соответствует собственному вектору матрицы монодромии, касающемуся цикла. Он связан с движением вдоль цикла и не влияет на его устойчивость.

Периодическое решение не может быть асимптотически устойчивым, так как решения с начальными условиями в разных точках цикла не сближаются при .

Устойчивость непериодических решений. Понятия устойчивости, сформулированные для стационарных и периодических решений, естественным образом переносятся на произвольные решения автономной системы (1.1).

Определение 2.22. Решение автономной системы дифференциальных уравнений (1.1) называется устойчивым по Ляпунову, если все решения этой системы с начальными условиями из достаточно малой окрестности начального условия указанного решения определены на всей положительной полуоси времени и сходятся равномерно по времени к исследуемому решению при стремлении начального условия к начальному условию указанного решения.

Другими словами, решение системы (1.1) устойчиво по Ляпунову, если для любого существует такое, что для всех решений системы (1.1) из условия следует для всех .

Определение 2.23. Решение автономной системы дифференциальных уравнений (1.1) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и, кроме того, все решения системы (1.1) с достаточно близкими к исследуемому решению начальными условиями стремятся к нему при , т. е. при .

Если в условиях асимптотической устойчивости стремление решений системы уравнений (1.1) к исследуемому решению имеет экспоненциальный характер ( с некоторыми положительными константами и ), то решение системы (1.1) называется экспоненциально устойчивым.

Для исследования устойчивости решения системы (1.1) проводится ее линеаризация на этом решении. В результате линеаризации получим линейную неавтономную систему обыкновенных дифференциальных уравнений

, (2.15)

где , а . В данном случае линейный оператор может иметь матрицу с произвольными ограниченными на полуоси элементами.

Рассмотрим решение линейной системы (2.15) и определим для него показатель Ляпунова по формуле

.

В частном случае, когда  – стационарное решение, оператор линейной части имеет постоянную матрицу . При этом фундаментальная матрица решений линейной системы (2.15) имеет вид . Без ограничения общности будем считать, что матрица имеет жорданову форму. Следовательно, каждой ее жордановой клетке порядка с собственным значением соответствует цепочка из решений

, ,

где  – собственный, а  – присоединенные векторы собственного значения . Для каждого из его решений показатель Ляпунова , очевидно, равен . Таким образом, линейная система (2.15) с постоянной матрицей имеет показателей Ляпунова с учетом их кратностей, совпадающих с вещественными частями собственных значений матрицы . Кратность каждого показателя определяется порядком соответствующей ему жордановой клетки. В силу теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению стационарное решение (особая точка) системы (1.1) асимптотически устойчиво, если все показатели Ляпунова линейной системы первого приближения отрицательны.

Когда является периодическим решением автономной системы (1.1), показатели Ляпунова совпадают с вещественными частями показателей Флоке, что следует из представления фундаментальной матрицы решений в виде с периодической и, следовательно, ограниченной матрицей . Система имеет показателей с учетом их кратностей, которые определяются порядками жордановых клеток матрицы . Имеет место следующий результат.

Теорема 2.8. Если траектория автономной системы (1.1) остается в ограниченной области и не стремится к особой точке при , то по крайней мере один показатель Ляпунова линеаризованной на этом решении системы равен нулю.

Таким образом, если один из показателей Ляпунова системы, линеаризованной на периодическом решении, равен нулю, а все остальные показатели отрицательны, то предельный цикл устойчив. Нулевой показатель соответствует направлению, касательному к циклу.

В общем случае линейная неавтономная система (2.15) имеет показателей , среди которых могут быть и кратные. Показатели в этом случае уже не являются собственными значениями какой-либо постоянной матрицы, в том числе и матрицы , если даже соответствующий предел существует. Нулевой показатель соответствует направлению, касательному к ограниченному непериодическому решению и не стремящемуся к особой точке. Показатель Ляпунова называется старшим характеристическим показателем системы (2.15). Он обозначается и равен

.

Определение 2.24. Линейная неавтономная система (2.15) с вещественными коэффициентами называется правильной, если сумма ее показателей Ляпунова совпадает со средним значением следа матрицы , который в свою очередь совпадает с дивергенцией векторного поля, т. е.

.

Принято считать, что все практически значимые системы являются правильными. Для правильных систем имеет место обобщенная теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

Теорема 2.9. Пусть решение неавтономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1.2) таково, что разность удовлетворяет уравнению

,

где , , . Тогда, если система первого приближения правильна и имеет отрицательный старший показатель , то решение системы (1.2) асимптотически устойчиво. Если старший показатель Ляпунова положителен, то решение  неустойчиво.