Модуль числа.

Определение: Модулем комплексного числа z = a + bi называется числои обозначается , т.е. .

Пример:

Модуль комплексного числа  равен …

Решение: Модуль комплексного числа вычисляется по формуле , где  – действительная, а  – мнимая часть комплексного числа. Тогда

Ответ:

Решите самостоятельно:

1. Модуль комплексного числа  равен …

Ответ:

2. Модуль комплексного числа  равен …

Ответ:

3. Модуль комплексного числа  равен …

Ответ:

Р Я Д Ы

Ч

Ответа нет

1

Ответ ряд расходится

нет

2.Достаточные условия:

P>1 – ряд расходится

I

P<1 – ряд сходится

P=1 – нет ответа

II.Признак сравнения:

1) – сходится - сходится, т.к. сходится его мажорантный ряд

2) – расходится, - расходится как мажорантный для расходящегося

III.Эталонные ряды(г.п.):

-сходится |q|<1,

– расходится т.к. гармонический

,

IV. Знакопеременные ряды:

– ряд модулей

, сходится -абсолютно сходящийся

расходится - ответа нет

V. Знакочередующиеся ряды

по признаку Лейбница – сходится

Функциональные ряды:

1.Степенные:

(по степеням x)

(по степеням ).Область сходимости – множество всех точек сходимости.

2.Ряд Тейлора – Маклорена:

R сходимости =

интервал (-R;R)

3.Тригонометрические ряды. Ряды Фурье.

опр:; слагаемое – гармоники, - амплитуды, 1,2,n-частоты

При

Коэффициенты Фурье

-частоты

Если функция чётная

Если разложить по cos чётным образом продолжить график

Если функция нечётная

Если разложить по sin нечётным образом продолжить

1.Дан числовой ряд . Частичная сумма  равна …

4.Дан числовой ряд:  Его частичная сумма  равна …

ТЕМА ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Для исследования вопроса о сходимости числового ряда используется необходимый признак сходимости числового ряда  Тогда могут сходиться ряды …

1.

Решение 1) . Тогда . Достаточный признак сходимости выполняется, значит, данный ряд может сходиться. 2) . сходиться.(предел равен нулю т.к в знаменателе N в большей степени) 3) . . расходится. 4) . . расходится.

2.

3. ПРИМЕРЫ РЯДОВ

Для исследования числового ряда  на сходимость можно пользоваться признаком Даламбера и признаком Коши Тогда сходящимися являются ряды …

Решение: 1) Для ряда  воспользуемся признаком Даламбера. Тогда получим: Так как , то данный ряд сходится. 2) Для ряда  воспользуемся признаком Даламбера. Имеем: тогда получим: . Так как , то данный ряд расходится. 3) Для ряда  воспользуемся признаком Коши. Имеем:  тогда получим: Так как , то данный ряд сходится. 4) Для ряда  воспользуемся признаком Коши. Имеем:  тогда получим: Так как , то данный ряд расходится.

2. исследования числового ряда  на сходимость можно пользоваться признаком Даламбера и признаком Коши Тогда сходящимися являются ряды …

Решение: 1) Для ряда  воспользуемся признаком Даламбера. Получим Тогда Так как , то данный ряд сходится. 2) Для ряда  признак Даламбера. Получим Тогда расходится. 3) Для ряда  признаком Коши.  Получим , ряд сходится. 4) Для ряда   признак Коши.  Получим Тогда ряд расходится.

3.

1.Для степенного ряда  радиус сходимости R равен …1

Решение: Радиус сходимости степенного ряда  находится по формуле По условию задачи имеем, что примеры

1.Известно, что ряд Маклорена для функции  имеет вид Тогда  равняется  …

Решение: Напоминаем, что нужно сделать подстановку – вместо x записать Получим

2.Известно, что ряд Маклорена для функции  имеет вид Тогда  равняется …

3.Известно, что ряд Маклорена для функции  имеет вид  Тогда  …

4.Известно, что ряд Маклорена для функции  имеет вид Тогда  равняется …

Решение: Cделаем подстановку, вместо x запишем  тогда получим: