5.3 Устойчивость

Дискретная схема называется устойчивой, если при каждом шаге по маршевой²⁸ координате случайная ошибка решения не возрастает при переходе от одного шага к другому.

В качестве примера, рассмотрим решение нестационарного уравнения теплопроводности (21) при помощи явной разностной схемы (22а). Соотношение шагов расчетной сетки Δt и Δх выберем таким, чтобы выполнялось условие . Пусть в начальный момент времени температура центрального узла составляет один градус, а температура остальных узлов – нулевая. Граничные условия также примем нулевыми.

Результаты расчета для первых четырех шагов по времени на расчетной сетке, состоящей из девяти узлов, приведены в табл. 5.1. Как следует из этой таблицы, полученные результаты полностью противоречат физическому смыслу – вместо постепенного выравнивания температуры по длине стержня, наблюдается её скачкообразное изменение во всех узлах расчетной сетки, причем амплитуда колебаний постоянно нарастает – решение "идет в разнос".

Таблица 5.1

На рис. 14а приведен график, демонстрирующий изменение температуры в центральном узле расчетной сетки для случая r=0,513. В этом случае также наблюдаются осцилляции с нарастающей амплитудой, однако, даже после шестидесяти шагов по времени, амплитуда колебаний не превышает одного градуса. Можно доказать, что уменьшение параметра r (за счет уменьшения шага по времени Δt по отношению к шагу Δх) до величины 0,5 полностью ликвидирует осцилляции и позволяет получить физически обоснованное решение. В качестве примера, на рис. 14б приведена зависимость температуры от номера шага по времени для случая r=0,30.

Потеря устойчивости при чрезмерном увеличении шага по маршевой координате характерна для всех явных расчетных схем. Следует отметить, что упомянутое условие устойчивости разностной схемы (22а) r≤0,5 является весьма "жестким". Дело в том, что попытка уменьшения шага по пространственной координате в два раза, вынудит исследователя одновременно уменьшить шаг по времени в четыре раза. В одномерном случае это приведет к увеличению трудоемкости расчета в восемь раз, в двумерном – в шестнадцать раз, а в трехмерном случае трудоемкость расчета возрастет в тридцать два раза!

Простейший практический способ оценки устойчивости разностной схемы заключается в умышленном внесении некоторого возмущения в исходные данные задачи и последующем изучении распространения этого возмущения, подобно тому, как это было сделано в вышеприведенном примере.

К настоящему времени разработан ряд теоретических методов исследования устойчивости линейных дифференциальных уравнений в частных производных, но их изложение выходит за рамки данной работы.