5. Свойства дискретных схем

Использование метода конечных (контрольных) объемов продемонстрируем на примере двумерного стационарного уравнения теплопроводности:

где α – коэффициент теплопроводности, S – скорость выделения теплоты в единице объема.

Решение задачи начнем с построения разностной сетки и разбиения расчетной области на непересекающиеся ячейки (объемы), каждая из которых содержит лишь один узел сетки (рис. 13). Проинтегрируем уравнение (31) по объему ячейки А:

Рис. 13. Расчетная сетка, используемая для решения уравнения (31)

методом конечных объемов

Используя теорему о среднем можно записать

где Δх, Δу – длины граней ячейки, x_W – абсцисса левой ("западной") границы ячейки А, x_Е – абсцисса правой ("восточной") границы, у_N – ордината верхней ("северной") границы, у_S – ордината нижней ("южной") границы, S_* – средняя по ячейке скорость тепловыделения. Индекс у производных (_*), в левой части (32), указывает на то, что их следует рассматривать как средние значения, определенные таким образом, чтобы правильно представить тепловые потоки на каждой из границ. С учетом данного обстоятельства, дискретный аналог (32) может быть получен без затруднений [Патанкар].

Таким образом, уравнение (32) описывает баланс тепла (закон сохранения энергии) в пределах ячейки А. При условии правильного описания тепловых потоков между ячейками, система, составленная из уравнений вида (32), примененных к каждому контрольному объему, будет верно описывать баланс тепла во всей расчетной области.

В завершение параграфа следует отметить, что в частных случаях расчетные формулы, полученные описанными выше способами, могут совпадать, а наиболее существенные отличия проявляются при использовании криволинейных неортогональных расчетных сеток.