Тема 4: Теореми Ролля, Лагранжа, Коші, їх геометрична ілюстрація та застосування. Правило Лопіталя.

1. Теореми Ролля, Лагранжа, Коші, їх геометрична ілюстрація.

2. Правило Лопіталя.

Короткі теоретичні відомості

Теорема 1.(теорема Ферма). Якщо функція f ,визначена в деякому околі точки , набуває в цій точці найменшого(найбільшого) в околі значення і має в точці похідну, то ця похідна дорівнює нулю.

Теорема 2.(теорема Ролля). Якщо функція f неперервна на відрізку [a;b], диференційована в інтервалі (а;b) й f(a)=f(b),то існує принаймні одна точка є(а;b) така, що f`(c)=0.

Теорема3.(теорема Лагранжа). Якщо функція f неперервна на відрізку [a;b] і диференційована в інтервалі (а;b), то існує принаймні одна точка є (а;b) така, що

(1)

Геометричний зміст теореми Лагранжа полягає в тому, що на дузі, яка є графіком функції f, що задовольняє всі умови теореми Лагранжа, знайдеться принаймні одна точка М(с;f(с)), дотична в якій паралельна хорді. Формула (1) називається формулою Лагранжа, або формулою скінчених приростів.

Теорема 4.(теорема Коші). Якщо функції та неперервні на відрізку [a;b] і диференційовані в інтервалі (а;b), причому в кожній точці інтервалу (а;b) , то існує принаймні одна точка є (а;b) така, що

(2)

Формула (2) називається формулою Коші. Теорема Лагранжа є окремим випадком теореми Коші. Щоб дістати формулу Лагранжа з формули Коші , досить покласти g(x)=x.

У формулі (2) зовсім не обов’язково вважати, що b>a.

Наслідком теореми Коші є правило Лопіталя – теорема, яка дає можливість обчислювати границі, пов’язані з розкриттям невизначеностей виду (перше правило) (друге правило). При цьому досить складні задачі на обчислювання границь зводяться до більш простих – обчислення похідних.

Теорема. Нехай функції f і g диференційовані проколотому околі 0*(x₀) точки x₀ (g`(x)0 xє0*(x₀)), одночасно є нескінченно малим або нескінченно великим при xx₀ (x₀R) або x₀=) і, крім того, існує скінчена або нескінченна границя відношення при xx₀.

Тоді існує також і границя відношення , причому

(3)

Правило Лопіталя справедливе і для односторонніх границь. Якщо не існує , то правило Лопіталя не можна застосовувати , але шукана границя може існувати. Правило Лопіталя можна застосовувати кілька разів.

Приклад 1. Обчислити границю .

Маємо невизначеність виду . Застосовуючи перше правило Лопіталя (формула (3)), дістанемо .

Приклад 2.Обчислити границю .

Маємо невизначеність виду . За другим правилом Лопіталя .

Приклад 3.Обчислити границю .

Маємо невизначеність . Зведемо її до невизначеності виду , записавши вираз у вигляді дробу, а потім застосовуємо друге правило Лопіталя .

Дістаємо .