Основная теорема алгебры

Теорема, заключающаяся в том, что всякий многочлен степени n (n>0):

f(z) = a₀zⁿ + a₁z^n-1 + … + a_n , где a₀ / 0, над полем комплексных чисел имеет по крайней мере один корень z₁, так что f(z₁)=0. Из О.Т.А. и из теоремы Безу вытекает, что многочлен f(z) имеет в поле комплексных чисел ровно n корней (с учётом их кратностей). Действительно, согласно теореме Безу f(z) делится на z – z₁ (без остатка), т.е. f(z) = f₁(z)(z – z₁), а отсюда многочлен f₁(z) (n – 1)-й степени по О.Т.А. также имеет корень z₂ и т.д. В конечном счёте мы придём к заключению, что f(z) имеет ровно n корней:

f(z) = a₀(z – z₁)(z – z₂) ... (z – z_n).

О.Т.А. называется так потому, что основное содержание алгебры в XVII-XVIII вв. сводилось к решению уравнений. О.Т.А. была доказана впервые в XVII в. французским математиком Жираром, строгое же доказательство было дано в 1799 г. немецким математиком Гауссом.