1. Комплексные числа: определение, алгебраическая форма записи, деление.
Определение: Формально, комплексное число z - это упорядоченная пара вещественных чисел (x, y) с введёнными на них следующим образом операциями сложения и умножения: (х, у)+(х’, у’)=(х+х’, у+у’); (х, у)*(х’, у’)=(хх’-уу’, ху’+ух’). Вещественные числа представлены в этой модели парами вида (х, 0), причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Мнимая единица в такой системе представляется парой i=(0, 1).
Алгебраическая форма: z=a+bi, i^2=(-1), где i - мнимая единица; a - действительная часть: a = Re(z); bi - мнимая часть: b = Im(z); числа вида bi - чисто мнимые; плоскость Oxy - комплексная плоскость; ось Ох - действительная ось; ось Oy - мнимая ось;
Действия над комплексными числами: если z1=a+bi, z2=c+di, то:
z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; z1=z2 <=> a=c, b=d; z1*z2=(a+bi)*(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i; z1/z2=(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+(bc-ad)i/(c^2+d^2); i^4k=1, i^(4k+1)=i, i^(4k+2)=-1, i^(4k+3)=-i.
- 1. Комплексные числа: определение, алгебраическая форма записи, деление.
- 2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль комплексного числа. Комплексное сопряжение и его свойства.
- 3. Полярные координаты на плоскости. Тригонометрическая форма записи кч.
- 4. Свойства модуля и аргумента кч. Ф-лы Муавра.
- 6. Тригонометрические и гиперболические ф-ции комплексного аргумента.
- 7. Матрицы. Различные виды матриц.
- 8. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
- 9. Линейное пространство. Примеры линейных пространств.
- 10. Линейная зависимость и независимость векторов.
- 11. Размерность линейного пространства. Базис, координаты.
- 12. Определители второго порядка.
- 3.1.1. Определители второго порядка
- 13. Общее определение определителя. Определители третьего порядка.
- 16. Разложение определителя по строке (столбцу).
- 14. Общие свойства определителя.
- 15. Вычисления определителя методом Гаусса. Определитель диагональной и треугольной матриц.
- 18. Проекции геометрического вектора на ось и компонента на оси, их свойства.
- 19. Линейность скалярного произведения и его координатное представление. Угол между векторами.
- 20. Векторное произведение и его основные свойства.
- 21. Координатное представление векторного произведения.
- 23. Линейность векторного произведения.
- 22. Смешанное произведение векторов и его свойства.
- 24. Двойное векторное произведение.
- 25. Плоскость в пространстве (основные виды уравнений).
- 26. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.
- 27. Уравнения прямой в пространстве.
- 28. Эллипс и его уравнение в полярных координатах.
- 29. Гипербола и её уравнение в полярных координатах.
- 30. Парабола и её уравнение в полярных координатах.
- 31. Преобразования координат на плоскости: сдвиг, отражение, поворот.
- 32. Приведение уравнения кривой 2-го порядка к каноническому виду.
- 33. Поверхности второго порядка: эллипсоид, гиперболоиды, конус.
- 34. Поверхности 2-го порядка: параболоиды, цилиндры.
- 35. Умножения матриц и его свойства.
- 36. Обратная матрица: определение и основные свойства.
- 37. Вычисление обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений.
- 38. Матричные уравнения. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса.
- 39. Линейное пространство многочленов. Определитель Вандермонда.
- 40. Деление многочленов. Теорема Безу.
- 41. Кратность корня многочлена: определение, нахождение через производные.
- 42. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на множители (в тч на вещественные).
- 43. Разложение рациональной дроби на простейшие.
- 44. Собственные числа и собственные вектора матрицы.
- 45. Собственные подпространства. Алгебраическая и геометрическая кратность собственного числа.
- 46. Преобразование подобия. Диагонализация матрицы.