4. Свойства модуля и аргумента кч. Ф-лы Муавра.

Св-ва модуля: Число |z|=(x^2+y^2)^(1/2) называется модулем числа z. Для вещественного числа модуль совпадает с его абсолютной величиной. Некоторые свойства модуля:

|z|>=0, причём |z|=0 тогда и только тогда, когда z=0; |z1+z2|<=|z1|+|z2| (неравенство треугольника); |a*z|=a*|z|, - эти три свойства вводят на комплексных числах структуру двумерного нормированного пространства над полем R;

|z1*z2|=|z1|*|z2|; |z1/z2|=|z1|/|z2|.

Угол f такой, что: cos(f)=x/|z| и sin(f)=y/|z|, называется аргументом z. Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа z аргумент определяется с точностью до 2Пk, где k - любое целое число. Из определения следует, что tg(f)=y/x.

Св-ва аргумента: аргумент произведения равен сумме аргументов, аргумент частного равен разности аргументов, арг(з)^н=н*арг(з), аргумент сопряжённого кч равен отрицательному аргументу кч.

Ф-ла Муавра: Формула Муавра для комплексных чисел z=r*(cos(f)+i*sin(f)), заданная в тригонометрической форме - формула (r(cos(f)+i*sin(f)))^n=r^n*(cos(nf)+i*sin(nf)) для любого n из Z. Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-ой степени из ненулевого комплексного числа

Отметим, что корни n-й степени из комплексного числа всегда существуют, и их количество равно n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса (r)^(1/n) с центром в точке 0.

5. Ф-ла Эйлера. Показательная форма записи кч.

Ф-ла Эйлера: Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа x выполнено следующее равенство: e^(ix)=cos(x)+i*sin(x), где e - основание натурального логарифма, i - мнимая единица.

Док-во: Доказательство формулы Эйлера достаточно тривиально. Разложим функцию e^(ix) в ряд Тейлора по степеням x. Получим: e^(ix)=1+ix/1!+(ix)^2/2!+(ix)^3/3!...=(1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+…)+i(x/1!-x^3/3!+x^5/5!-...)

Но (1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+…)=cos(x), (x/1!-x^3/3!+x^5/5!-...)=sin(x). Поэтому e^(ix)=cos(x)+i*sin(x).

Показательная и тригонометрические функции в области комплексных чисел связаны между собой формулой e^(ix)=cos(x)+i*sin(x), которая носит название формулы Эйлера. Обосновать ее можно с помощью теории степенных рядов. Эта теория будет изложена в курсе математического анализа. Пусть комплексное число z в тригонометрической форме имеет вид z=r*(cos(x)+i*sin(x)). На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим z=r*e^(ix). Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь r=|z|, x=arg(z).