9. Линейное пространство. Примеры линейных пространств.
Линейное, или векторное пространство над полем P - это непустое множество L, на котором введены операции сложения, то есть каждой паре элементов множества ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый и умножения на скаляр (то есть элемент поля P), то есть любому элементу и любому элементу ставится в соответствие элемент из , обозначаемый .
При этом удовлетворяются следующие условия:
, для любых (коммутативность сложения);
, для любых (ассоциативность сложения);
существует такой элемент , что для любого (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности L не пусто;
для любого существует такой элемент , что (существование противоположного элемента).
(ассоциативность умножения на скаляр);
(умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор).
(дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);
(дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).
Элементы множества L называют векторами, а элементы поля P - скалярами. Свойства 1-4 совпадают с аксиомами абелевой группы.
- 1. Комплексные числа: определение, алгебраическая форма записи, деление.
- 2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль комплексного числа. Комплексное сопряжение и его свойства.
- 3. Полярные координаты на плоскости. Тригонометрическая форма записи кч.
- 4. Свойства модуля и аргумента кч. Ф-лы Муавра.
- 6. Тригонометрические и гиперболические ф-ции комплексного аргумента.
- 7. Матрицы. Различные виды матриц.
- 8. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
- 9. Линейное пространство. Примеры линейных пространств.
- 10. Линейная зависимость и независимость векторов.
- 11. Размерность линейного пространства. Базис, координаты.
- 12. Определители второго порядка.
- 3.1.1. Определители второго порядка
- 13. Общее определение определителя. Определители третьего порядка.
- 16. Разложение определителя по строке (столбцу).
- 14. Общие свойства определителя.
- 15. Вычисления определителя методом Гаусса. Определитель диагональной и треугольной матриц.
- 18. Проекции геометрического вектора на ось и компонента на оси, их свойства.
- 19. Линейность скалярного произведения и его координатное представление. Угол между векторами.
- 20. Векторное произведение и его основные свойства.
- 21. Координатное представление векторного произведения.
- 23. Линейность векторного произведения.
- 22. Смешанное произведение векторов и его свойства.
- 24. Двойное векторное произведение.
- 25. Плоскость в пространстве (основные виды уравнений).
- 26. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.
- 27. Уравнения прямой в пространстве.
- 28. Эллипс и его уравнение в полярных координатах.
- 29. Гипербола и её уравнение в полярных координатах.
- 30. Парабола и её уравнение в полярных координатах.
- 31. Преобразования координат на плоскости: сдвиг, отражение, поворот.
- 32. Приведение уравнения кривой 2-го порядка к каноническому виду.
- 33. Поверхности второго порядка: эллипсоид, гиперболоиды, конус.
- 34. Поверхности 2-го порядка: параболоиды, цилиндры.
- 35. Умножения матриц и его свойства.
- 36. Обратная матрица: определение и основные свойства.
- 37. Вычисление обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений.
- 38. Матричные уравнения. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса.
- 39. Линейное пространство многочленов. Определитель Вандермонда.
- 40. Деление многочленов. Теорема Безу.
- 41. Кратность корня многочлена: определение, нахождение через производные.
- 42. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на множители (в тч на вещественные).
- 43. Разложение рациональной дроби на простейшие.
- 44. Собственные числа и собственные вектора матрицы.
- 45. Собственные подпространства. Алгебраическая и геометрическая кратность собственного числа.
- 46. Преобразование подобия. Диагонализация матрицы.