Линейные однородные уравнения го порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное однородное уравнение го порядка:

Для этого уравнения справедлива следующая теорема:

Если функции являются линейно независимыми решениями данного уравнения, то его общее решение суть

где произвольные постоянные.

Если коэффициенты данного уравнения постоянны, то общее решение находится так же, как и в случае уравнения второго порядка:

1. Составляем характеристическое уравнение

2. Находим корни характеристического уравнения

3. По характеру корней выписываем частные линейно независимые решения, руководствуясь тем, что:

1. каждому действительному однократному корню соответствует частное решение

2. каждой паре комплексных сопряжённых однократных корней соответствуют два частных решения и

3. каждому действительному корню кратности соответствует линейно независимых частных решений

4. каждой паре комплексных сопряжённых корней кратности соответствуют частных решений

4. Найдя линейно независимых частных решений , строим общее решение данного линейного уравнения

_{Описанные выше шаги можно объединить в таблицу:}

Характер корня

характеристического Частные решения уравнения

уравнения

1. простой

вещественный

корень

2. вещественный

корень

кратности

3. простые

комплексные

сопряжённые корни

4. комплексные

сопряжённые корни

кратности