33. Неоднородное уравнение теплопроводности.

Рассмотрим неоднородное уравнение теплопроводности:

с начальным условием

и граничным условием

Будем искать решение этой задачи  в виде ряда Фурье по собственным функциям, соответствующей однородной краевой задачи:

считая при этом t параметром. Для нахождения функции   надо определить функции  . Представим функцию f(x,t) в виде ряда

где

Подставляя представление (4) для решения в исходное уравнение (1) имеем:   Если ряд Фурье равен нулю, то все коэффициенты разложения равны нулю, то есть

Пользуясь начальным условием для    получаем начальное условие для  :

Решая обыкновенное дифференциальное уравнение (7) с нулевым начальным условием (8), находим:

Подставляя выражение (9) для  в формулу (4), получим решение исходной задачи в виде

Воспользуемся выражением (6) для  и преобразуем найденное решение (10):

где