21. Вынужденные колебания. Резонанс.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний (механических) и его решение

по гармоническому закону: При рассмотрении механических колебаний, то роль X(t) играет внешняя вынуждающая сила (1) С учетом (1) закон движения для пружинного маятника запишется как Используя формулу для циклической частоты свободных незатухающих колебаний прижинного маятника и (10) предыдущего раздела, получим уравнение (2) Колебания, которые возникают под действием внешней периодически изменяющейся силы называются соответственно вынужденными механическими колебаниями. Уравнения (2) и (4) приведем к линейному неоднородному дифференциальному уравнению (5)Решение уравнения (5) будет равно сумме общего решения (5) однородного уравнения (1) и частного решения неоднородного уравнения. Частное решение ищем в комплексной форме. Заменим правую часть уравнения (5) на комплексную переменную х₀e^iωt : (6) Частное решение данного уравнения будем искать Подставляя выражение для s и его производных ( и ) в выражение (6), найдем (7) Поскольку это равенство должно быть верным для всех моментов времени, то время t из него должно исключаться. Значит η=ω. Учитывая это, из формулы (7) найдем величину s₀ и умножим ее числитель и знаменатель на (ω₀² - ω² - 2iδω)

Это комплексное число представим в экспоненциальной форме: где (8) (9) Значит, решение уравнения (6) в комплексной форме будет иметь вид Его вещественная часть, которая является решением уравнения (5), равна (10) где А и φ определяются соответственно формулами (8) и (9). Следовательно, частное решение неоднородного уравнения (5) равно Решение уравнения (5) есть сумма общего решения однородного уравнения (12) и частного решения уравнения Резона́нс (фр. resonance, от лат. resono — откликаюсь) — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при приближении частоты внешнего воздействия к некоторым значениям (резонансным частотам), определяемым свойствами системы.