22.Системы дифференциальных уравнений. Запись задачи в матричной форме.

1)Система такого вида называется нормальной системой дифференциальных уравнений (СНДУ). Для нормальной системы дифференциальных уравнений можно сформулировать теорему о существовании и единственности такую же, как и для дифференциального уравнения.Теорема. Если функции определены и непрерывны на открытом множестве , а соответствующие частные производные тоже непрерывны на , то тогда у системы (1) будет существовать решение (2) а при наличии начальных условий (3) это решение будет единственным.

Эту систему можно представить в виде:

(4)

Система обыкновенных дифференциальных уравнений вида

где aij(x) и bi (x) — известные, а yj (x) — неизвестные функции, (i = 1,2, … ,n, j = 1,2, n) называется линейной системой дифференциальных уравнений.

При описании линейных систем дифференциальных уравнений удобнее пользоваться векторной (матричной) формой записи. Обозначим

Тогда линейная система дифференциальных уравнений в векторной (матричной) форме записывается в виде Y' = A(x)Y + b(x) или, что то же самое, в виде:

Матрица A называется матрицей системы, а вектор–функция b(x) — неоднородностью системы. Система Y' = A(x)Y + b(x) называется неоднородной линейной системой дифференциальных уравнений, а система Y' = A(x)Y— однородной линейной системой. Справедлива следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши для линейной системы дифференциальных уравнений.

Если A(x) и b(x) непрерывны на отрезке [a, b] , то какова бы ни была начальная точка (x0, Y0) из Rn + 1, задача Коши Y' = A(x)Y + b(x), Y(x0) = Y0,имеет единственное на [a,b] решение Y = Y(x) Важно отметить, что для линейной системы дифференциальных уравнений разрешимость задачи Коши глобальная: решение существует всюду, где непрерывны коэффициенты и неоднородность системы.