18.Нормирование общего уравнения прямой линии : . Получение выражения для вычисления отклонения произвольной точки от заданной прямой линии .

Общее уравнение прямой

Ах + Ву + С = 0

всегда можно привести к нормированному виду (нормировать). Если С < 0, то, умножив обе части уравнения на нормирующий множитель  , получим уравнение

которое   является   нормированным,   так  как  вектор   как легко проверить- единичный, а свободный член уравнения меньше или равен нулю.

Случай С > 0 сводится к предыдущему умножением обеих частей уравнения на —1. Поэтому, если С > 0, то за   нормирующий   множитель   следует   взять   число 

Задача. Вычислить расстояние от начала координат до прямой 6х — 8y + 25 = 0.

Тaк как С = 25 > 0, то, умножив обе части уравнения    на    нормирующий    множитель

, получим нормированное уравнение данной прямой

— 0,6х + 0,8y — 2,5 = 0.

Учитывая геометрический смысл свободного члена нормированного уравнения прямой, видим, что искомое расстояние равно 2,5.

ОТКЛОНЕНИЕ + точка

Пусть l — произвольная прямая (рис. 102).

Обозначим через р расстояние от начала координат до прямой l, а через φ — угол между осью Ох и нормальным вектором прямой l. Угол будем отсчитывать от оси Ох в направлении, противоположном движению часовой стрелки. Очевидно, что положение прямой на плоскости полностью определяется заданием величин р и φ. Выразим коэффициенты уравнения прямой l через р и φ.

Пусть М₀ — точка пересечения прямой l и перпендикулярной ей прямой, проходящей через начало координат, п₀ — единичный нормальный вектор прямой l, т. е. |п₀| = 1. Координаты точки М₀ и вектора п₀ выражаются через заданные величины р и φ следующим образом:

М₀(р cos φ; р sinφ),    п₀ = (cos φ;   sinφ).