1.4.2. Сходимость и непрерывность

Понятие расстояния в метрическом пространстве позволяет анализировать важное свойство бесконечных последовательностей, называемое сходимостью.

Последовательность сходится, если существует такое , что для любого имеется целое положительное n₀, такое, что

Это часто записывают так:

Любая последовательность, обладающая этим свойством, называется последовательностью Коши. Метрические пространства, в которых все последовательности сходятся, называются полными.

Одно из важных следствий введения метрических пространств состоит в том, что понятие непрерывности может быть обобщено на произвольное отображение одного метрического пространства в другое.

Пусть говорят, что отображение непрерывно в окрестности x₀ если для любого ε>0 существует δ>0 такое, что

,

где y=f(x) и y₀=f(x₀) . Если f непрерывно во всех точках области определения, то говорят, что отображение непрерывно.

Для произвольного множества действительных или комплексных функций времени, заданных на определённом интервале

Могут быть определены метрики: