1.4.4. Нормированные линейные пространства

Объединение геометрических свойств, характерных для метрических пространств и алгебраических свойств выявленных в линейных пространствах достигается введением нормы вектора. Норма вектора – это действительное число, характеризующее «размер» элемента в линейном пространстве. Норма определяется любым отображением линейного пространства в действительную ось, удовлетворяющим следующим требованиям:

Норма вектора это расстояние точки от начала координат. Легко показать, что . Нормированное линейное пространство, являющееся полным метрическим пространством, называется банаховым. Нормы для Rⁿ и Cⁿ вводятся соотношением , а для действительных и комплексных функций времени, определённых на соотношением

Именно такое представление нормы используется для сигналов в силу простоты физической интерпретации квадрата нормы как энергии сигнала. Множество функций для которых эта норма ограничена называется пространством L², обозначается L² (T). Началом координат в этом пространстве является функция, равная нулю почти всюду на интервале T.