Пример 1. На рис. 5.1 показана диаграмма Хассе множества p({0,1,2}) подмножеств множества {0,1,2}, упорядоченное отношением .

Рис. 5.1. Диаграмма Хассе множества подмножеств

Предполагаются, что ребра направлены сверху вниз.

Пример 2. Для целого неотрицательного числа n0 будем обозначать через [n] множество {0, 1, ∙ ∙ ∙, n}, с отношением 0 < 1< ∙ ∙ ∙ < n. Его диаграммой Хассе будет ориентированный граф, приведенный на рис. 5.2.

    

Рис. 5.2. Диаграмма Хассе

Частично упорядоченные множества (X, )и(Y, )называются изоморфными, если существуют неубывающие отображения f: XY иg: YXтакие, что f(g(y))=yиg(f(x))=x(xX, yY).

В этом случае fназываетсяизоморфизмом, аg–обратным отображениемдляf.

Рассмотрим множество делителей (D_n, | ) натурального числаn1, упорядоченноеотношением делимостиa|ba– делитель числаb(в этом случае говорят, чтоa–делит b).

Пример 3. Пусть p и q – различные простые числа, большие единицы. Диаграмма Хассе множества ( D_n, | ) с n=p²q показана на рисунке 5.3.

Рис. 5.3. Диаграмма Хассе множества делителей

В общем случае диаграмма Хассе частично упорядоченного множества (D_n ,| ) состоит из реберm-мерного параллелепипеда, гдеm– число различных простых делителей числаn.

Теорема 1. Пусть n>0 – положительное натуральное число, n = его разложение в произведение попарно не равных простых множителей p_i>1. Тогда частично упорядоченное множество ( D_n , | ) будет изоморфно декартовому произведению [₁] [₂]   [_m] линейно упорядоченных множеств.

Доказательство.Каждый делитель числаn =будет равен числу, для некоторых 0₁₁, 0₂₂ ,   , 0_m_m. Изоморфизм определяется как отображение, ставящее в соответствие числуэлемент (₁, ₂,   , _m).