2.1. Размещения
Постановка задачи. Дано m предметов и n ящиков, в которые размещаются предметы. Сколько существует размещений, удовлетворяющих некоторым заданным условиям?
Определение 1. Размещением с повторениями называется функция
f: {x1, x2,, xm }{y1,y2,,yn }.
Элементы xiназываютсяпредметами, аyj ящиками.
Полагая ai=f(xi ) , легко убедиться в том, что число всех размещений с повторениями равно количеству последовательностей {a1,a2,, am} чисел 1ainи значит оно равноnm.
Определение 2. Рассмотрим некоторое конечное множество равновероятных элементарных событий, которые мы будем иногда назвать исходами. Событием называется подмножество множества всех исходов. Его элементы называются благоприятными исходами. Вероятность события определяется как отношение количества благоприятных исходов к количеству всех исходов.
Например, если мы бросаем монету, то возможны два исхода. Число исходов выпадения «орла» равно 1. Значит, вероятность выпадения орла равно 0.5.
Упражнение 1. Бросают две игральные кости. Найти вероятность выпадения 10 очков.
Решение.Напомним, что игральная кость – это кубик, каждой грани которого соответствует одно число от 1 до 6. В данном случае число всех исходов равно 62. Благоприятные исходы: (4,6), (5,5), (6,4). Отсюда вероятность равнаp=3/36=1/12.
Определение 3. Размещением называется произвольная инъекция
f: {x1, x2,, xm}{y1,y2,,yn }.
(В каждый ящик размещают не более одного предмета.)
Теорема 1. Число размещений равно.
Доказательство.Первый предмет можно разместитьnспособами, второй –n-1, , m-й – n-m+1. Получаем.
Упражение 2. В группе m студентов. Найти вероятность того, что найдется два студента, родившиеся в один день года.
Решение.Полагаем, что год не високосный. Число всех вариантов 365m. Число неблагоприятных вариантов равно, гдеn=365. Получаем. Ниже приводится результаты вычислений значений вероятности при различныхm:
Например, если число студентов равно 23, то вероятность равна примерно 0.5.
Определение 4. Пусть заданыmящиков.Упорядоченным размещенииемпредметовa1, a2, , anназывается указание последовательности предметов для каждого ящика, при котором каждый предмет участвует ровно один раз.
Пример 1. На рисунке 2.1 показаны упорядоченные размещения предметов a, b по трем ящикам.
|
|
|
Рис. 2.1. Упорядоченные размещения
Сначала размещается буква aв первый ящик и одним из четырех способов размещаетсяb. Потом букваaразмещается во второй ящик, в этом случае сноваbразмещается одним из четырех способов. Затем букваaразмещается в третий ящик, букваbразмещается одним из четырех способов. Всего получаем 12 упорядоченных размещений.
Теорема 2. Число [m]n упорядоченных размещений n предметов в m ящиков равно m(m+1) ∙ ∙ ∙ (m+n1).
Доказательство.После размещения первого предмета в ящик одним изmспособов
-
a1
∙ ∙ ∙
второй предмет может быть размещен одним из m+1способов. Предположим, что уже размещеноi1предметов, и пусть приk=1, 2, …, mвk-м ящике находитсяrkобъектов. Тогдаi-й объект может быть добавлен одним из
(r1+1) + (r2+1) + ∙ ∙ ∙ + ( rm+1) =i1+m
способов. Отсюда число всех упорядоченных размещений будет равно
m(m+1) ∙ ∙ ∙ (n1+ m).
- А.А. Хусаинов н.Н. Михайлова дискретная математика
- Введение
- 1. Множества и отношения
- 1.1. Способы задания множеств
- 1.2. Операции и их свойства
- Предложение. Пусть u – множество. Тогда для любых его подмножеств a, b и c верны равенства:
- 1.3. Решение уравнений с неизвестным множеством
- 1.4. Перечисление подмножеств
- 1.5. Отношения и функции
- Операции над бинарными отношениями. Бинарным отношением между элементами множеств a и b называется произвольное подмножество r ab. Запись aRb (при a a, b b ) означает, что (a,b) r .
- Обозначим IdA через Id. Легко видеть, что имеет место следующее
- Нижняя грань обозначается через . Двойственно, как наименьший элемент множества , определяетсяверхняя грань .
- Лемма 1. Если конечное частично упорядоченное множество (X,) является нижней полурешеткой и имеет наибольший элемент, то оно будет решеткой.
- Теорема 1. Пусть X – конечное множество. Множество отношений эквивалентности на X с отношением включения является решеткой.
- 1.7. Математическое моделирование баз данных
- Определение 1. (1nf) Файл находится в первой нормальной форме, если для него задано некоторое положительное целое число n и последовательность множеств (a1, , An) таких, что
- Определение 2.
- Определение 3. (2nf) Файл с первичным ключом находится во второй нормальной форме, если он находится в первой нормальной форме, и для любого атрибут Ak функционально полно зависит от атрибутов .
- Третья нормальная форма
- 2. Комбинаторика
- 2.1. Размещения
- 2.2. Сочетания
- Теорема 2. Число сочетаний из n по k равно .
- Пример 2. Число неубывающих сюръекций n 1 равно .
- Лемма 1. Пусть - число сочетаний с повторениями изn по k. Тогда равно числу неубывающих функций{1,2, , n-1} {0,1,2, , n}
- Теорема 7. .
- Следствие 1. Равно числу неубывающих функций
- Формула включения и исключения Перечисление элементов объединения подмножеств. Обобщим формулу
- Теорема 1. (Формула включения-исключения)
- Теорема 2.
- 2.4. Разбиения
- Лемма 1. .
- Теорема 1.
- Пример 2. Число s(4,2) равно 7, ибо все разбиения множества {1,2,3,4, 5, 6, 7} на два блока исчерпываются следующими:
- Теорема 2. Имеют место следующие свойства чисел Стирлинга второго рода:
- Теорема 3. ,n 0 .
- 2.5. Упражнения
- Упорядоченные разбиения
- Формула включения и исключения
- Неупорядоченные разбиения
- 3. Производящие функции
- 3.1. Свойства производящих функций
- 3.2. Разбиения чисел
- Лемма 1. Число разбиений p(n) равно количеству решений
- Замечание. Частное от деления любых двух многочленов является производящей функцией некоторой возвратной последовательности, порядок которой равен степени знаменателя.
- Получаем . Следующий шаг – разложение знаменателяK(X) в произведение (1 1x) (1 2x). В данном случае это можно сделать с помощью формулы Виеты. Поскольку имеют место равенства
- 3.5. Упражнения Свойства производящих функций
- Решение рекуррентных уравнений
- 4.1. Эйлеровы графы
- Теорема 1. Граф является эйлеровым тогда и только тогда, когда нечетную степень имеют не более двух вершин.
- 4.2. Простые графы и их свойства
- Замечание. Теорема Эйлера имеет место и для графов, не являющихся простыми.
- 4.3. Хроматическое число и хроматическая функция графа
- Теорема 1. Следующие свойства графа равносильны
- Теорема 3. Хроматическая функция f (q) конечного графа с n вершинами является многочленом степени не более, чем n.
- Число последовательностей из n-2чисел принадлежащих множеству{1, 2, ∙ ∙ ∙, n}равноnn-2, значит число нумерованных деревьев равноnn-2.
- Для всякого элемента aa слово a есть терм;
- В нормальной форме Бэкуса-Наура определение будет следующим:
- Теорема 1. Числа Каталана равны .
- 4.6. Плоские графы Эйлерова характеристика. Двумерной клеткой мы будем называть часть поверхности, ограниченную некоторым криволинейным многоугольником.
- Графы Куратовского. Далее мы рассмотрим следующие две задачи.
- Следствие 1. Граф k5 не плоский.
- Следствие 2. Граф k3,3 не плоский.
- Лемма 2. Пусть (V,e) – плоский конечный граф. Тогда существует вершина VV такая, что d(V) 5. Здесь d(V) – степень вершины V.
- Теорема 4. Для плоского связного графа существует правильная раскраска вершин в 5 цветов.
- Теорема 5. Пусть p – число вершин, q – число ребер, r – число граней правильного многогранника. Тогда возможен один из следующих случаев, рассмотренных в таблице 4.1.
- 4.7. Упражнения Свойства графов
- Хроматическое число и хроматическая функция графа
- 20.Найти хроматическую функцию графа An , приведенного на рис. 4.16.
- Деревья
- 5. Конечные частично упорядоченные множества
- 5.1. Диаграмма Хассе частично упорядоченного множества
- Пример 1. На рис. 5.1 показана диаграмма Хассе множества p({0,1,2}) подмножеств множества {0,1,2}, упорядоченное отношением .
- 5.2. Функция Мебиуса
- Определение 1. Функцией Мебиуса : XXz называется функция, определенная по формуле
- 5.3. Формула обращения
- 5.5. Упражнения Диаграмма Хассе
- Функция Мебиуса
- Расчетно-графическое задание
- Пример решения задачи 1
- Контрольная работа
- Варианты заданий
- Примеры решения задачи 1
- Варианты заданий
- Пример решения задачи 2
- Варианты заданий
- Пример решения задачи 3
- Варианты заданий
- Пример решения задачи 4
- Варианты заданий
- Пример решения задачи 5
- Варианты заданий
- Пример решения задачи 6
- Варианты заданий
- Пример решения задачи 7
- Экзаменационные вопросы и задачи Вопросы
- Литература
- Содержание