Теорема 3. Хроматическая функция f (q) конечного графа с n вершинами является многочленом степени не более, чем n.
Доказательство.По индукции по числу реберm. Приm=0 получаемf (q)=qn . Пусть граф имеетm+1ребер (иnвершин). Выбросим произвольное ребро . Получится граф’, хроматическая функция которого – многочлен степениnсогласно предположению индукции. Чтобы получить число раскрасок исходного графа, нужно из этого числа вычесть число раскрасок, при которых концы удаленного ребра окрашены в одинаковый цвет. Это число раскрасок будет хроматической функцией графа’’, полученного удалением ребра и отождествлением концов этого ребра. Отсюда разность
f(q)= f’(q) – f ’’ (q)– это разность многочленов степени не более, чем n.
4.4. Деревья
Определение 1. Дерево, имеющееnвершин, называетсянумерованным, если каждой из его вершин присвоен индивидуальный номерk{1, 2,,n}.
Теорема 1.(Кэли) Число нумерованных деревьев сnвершинами равноnn-2.
Доказательство. Сопоставим каждому нумерованному дереву последовательностьn-2чисел принадлежащих{1, 2, ,n}. Эта последовательность называется кодом Прюфера и строится следующим образом. В цикле находится висячая вершина с наименьшим номером. Номер вершины смежной с найденной записывается в последовательность. Цикл повторяетсяn2раза. Наоборот, по последовательностиnчисел из{1, 2, ,n+2}можно построить нумерованное дерево с помощью следующих действий:
Выписываем множество B={1, 2, 3, ∙ ∙ ∙, n+2}. Устанавливаем начальное множество ребер дереваT= . Далее выполняются действия:
for (i=1; i<n1; i++)
{
b= min { kB: kaj j ≥ i};
добавить к Tребро{b,ai} ;
B = B \ {b} ;
}
- А.А. Хусаинов н.Н. Михайлова дискретная математика
- Введение
- 1. Множества и отношения
- 1.1. Способы задания множеств
- 1.2. Операции и их свойства
- Предложение. Пусть u – множество. Тогда для любых его подмножеств a, b и c верны равенства:
- 1.3. Решение уравнений с неизвестным множеством
- 1.4. Перечисление подмножеств
- 1.5. Отношения и функции
- Операции над бинарными отношениями. Бинарным отношением между элементами множеств a и b называется произвольное подмножество r ab. Запись aRb (при a a, b b ) означает, что (a,b) r .
- Обозначим IdA через Id. Легко видеть, что имеет место следующее
- Нижняя грань обозначается через . Двойственно, как наименьший элемент множества , определяетсяверхняя грань .
- Лемма 1. Если конечное частично упорядоченное множество (X,) является нижней полурешеткой и имеет наибольший элемент, то оно будет решеткой.
- Теорема 1. Пусть X – конечное множество. Множество отношений эквивалентности на X с отношением включения является решеткой.
- 1.7. Математическое моделирование баз данных
- Определение 1. (1nf) Файл находится в первой нормальной форме, если для него задано некоторое положительное целое число n и последовательность множеств (a1, , An) таких, что
- Определение 2.
- Определение 3. (2nf) Файл с первичным ключом находится во второй нормальной форме, если он находится в первой нормальной форме, и для любого атрибут Ak функционально полно зависит от атрибутов .
- Третья нормальная форма
- 2. Комбинаторика
- 2.1. Размещения
- 2.2. Сочетания
- Теорема 2. Число сочетаний из n по k равно .
- Пример 2. Число неубывающих сюръекций n 1 равно .
- Лемма 1. Пусть - число сочетаний с повторениями изn по k. Тогда равно числу неубывающих функций{1,2, , n-1} {0,1,2, , n}
- Теорема 7. .
- Следствие 1. Равно числу неубывающих функций
- Формула включения и исключения Перечисление элементов объединения подмножеств. Обобщим формулу
- Теорема 1. (Формула включения-исключения)
- Теорема 2.
- 2.4. Разбиения
- Лемма 1. .
- Теорема 1.
- Пример 2. Число s(4,2) равно 7, ибо все разбиения множества {1,2,3,4, 5, 6, 7} на два блока исчерпываются следующими:
- Теорема 2. Имеют место следующие свойства чисел Стирлинга второго рода:
- Теорема 3. ,n 0 .
- 2.5. Упражнения
- Упорядоченные разбиения
- Формула включения и исключения
- Неупорядоченные разбиения
- 3. Производящие функции
- 3.1. Свойства производящих функций
- 3.2. Разбиения чисел
- Лемма 1. Число разбиений p(n) равно количеству решений
- Замечание. Частное от деления любых двух многочленов является производящей функцией некоторой возвратной последовательности, порядок которой равен степени знаменателя.
- Получаем . Следующий шаг – разложение знаменателяK(X) в произведение (1 1x) (1 2x). В данном случае это можно сделать с помощью формулы Виеты. Поскольку имеют место равенства
- 3.5. Упражнения Свойства производящих функций
- Решение рекуррентных уравнений
- 4.1. Эйлеровы графы
- Теорема 1. Граф является эйлеровым тогда и только тогда, когда нечетную степень имеют не более двух вершин.
- 4.2. Простые графы и их свойства
- Замечание. Теорема Эйлера имеет место и для графов, не являющихся простыми.
- 4.3. Хроматическое число и хроматическая функция графа
- Теорема 1. Следующие свойства графа равносильны
- Теорема 3. Хроматическая функция f (q) конечного графа с n вершинами является многочленом степени не более, чем n.
- Число последовательностей из n-2чисел принадлежащих множеству{1, 2, ∙ ∙ ∙, n}равноnn-2, значит число нумерованных деревьев равноnn-2.
- Для всякого элемента aa слово a есть терм;
- В нормальной форме Бэкуса-Наура определение будет следующим:
- Теорема 1. Числа Каталана равны .
- 4.6. Плоские графы Эйлерова характеристика. Двумерной клеткой мы будем называть часть поверхности, ограниченную некоторым криволинейным многоугольником.
- Графы Куратовского. Далее мы рассмотрим следующие две задачи.
- Следствие 1. Граф k5 не плоский.
- Следствие 2. Граф k3,3 не плоский.
- Лемма 2. Пусть (V,e) – плоский конечный граф. Тогда существует вершина VV такая, что d(V) 5. Здесь d(V) – степень вершины V.
- Теорема 4. Для плоского связного графа существует правильная раскраска вершин в 5 цветов.
- Теорема 5. Пусть p – число вершин, q – число ребер, r – число граней правильного многогранника. Тогда возможен один из следующих случаев, рассмотренных в таблице 4.1.
- 4.7. Упражнения Свойства графов
- Хроматическое число и хроматическая функция графа
- 20.Найти хроматическую функцию графа An , приведенного на рис. 4.16.
- Деревья
- 5. Конечные частично упорядоченные множества
- 5.1. Диаграмма Хассе частично упорядоченного множества
- Пример 1. На рис. 5.1 показана диаграмма Хассе множества p({0,1,2}) подмножеств множества {0,1,2}, упорядоченное отношением .
- 5.2. Функция Мебиуса
- Определение 1. Функцией Мебиуса : XXz называется функция, определенная по формуле
- 5.3. Формула обращения
- 5.5. Упражнения Диаграмма Хассе
- Функция Мебиуса
- Расчетно-графическое задание
- Пример решения задачи 1
- Контрольная работа
- Варианты заданий
- Примеры решения задачи 1
- Варианты заданий
- Пример решения задачи 2
- Варианты заданий
- Пример решения задачи 3
- Варианты заданий
- Пример решения задачи 4
- Варианты заданий
- Пример решения задачи 5
- Варианты заданий
- Пример решения задачи 6
- Варианты заданий
- Пример решения задачи 7
- Экзаменационные вопросы и задачи Вопросы
- Литература
- Содержание