Лемма 1. Число разбиений p(n) равно количеству решений
(1 , 2 , , n )
уравнения 1 1 + 2 2 + + n n = n .
Доказательство.Если среди чиселa1 a2 ak разбиения числаnимеется1единиц ,2 двоек ,,n n-ок , то получаем решение уравнения. Ясно, что это соответствие взаимно однозначно.
Обозначим через Ph(n)количество разбиений числаnна слагаемые, не большие чемh.
Теорема 1. Производящая функция последовательности чисел разбиений
Ph(0), Ph (1), Ph (2), равна .
Доказательство.Произведение равно
(1+x+x2+ )(1+x2+x4+ )(1+ x3+ x6+ ) (1+ xh + x2h + ).
Если перемножить содержимое скобок, то получим многочлен, равный сумме одночленов . Отсюда коэффициент приxnравен числу последовательностей (1,2,,h), для которых11 +22 ++hh=n. Он будет равен числу разбиенийnна слагаемые, не большие чемh.
Следствие 1. Производящая функция последовательности чисел разбиений
P(0), P(1), P(2), равна .
3.3. Числа Фибоначчи
Вычислим производящую функцию F(x) чисел Фибоначчи
F0 = F1 = 1,Fn+1 = Fn + Fn-1 приn 1.
Т.о. числа Фибоначчи– это последовательность чисел1, 1, 2, 3, 5... Имеют место соотношения:
.
Приходим к уравнению F(x)=1 + x + x2 + x(F(x)-1)для. Решая это уравнение, получаем, для некоторыхA,B, при,. Отсюда мы видим, что рядF(x)равен сумме геометрических прогрессий. Находим,. Следовательно,. Отсюда получаем формулу для вычисленияk–го числа Фибоначчи,, для всехk = 0, 1, 2, ∙ ∙ ∙ .
3.4. Рекуррентные уравнения
Рассмотрим обобщение последовательностей Фибоначчи. Формула
un + r = c1 un + r – 1 + c2 un + r – 2 + ∙ ∙ ∙ + cr un
называется однородным линейным рекуррентным уравнением порядка r. Ее решением является последовательность{un}, однозначно определенная начальными значениямиu0, u1, u2, ∙ ∙ ∙ , ur –1 . Решение такого уравнения называетсявозвратнойилирекуррентнойпоследовательностью порядка r.
Пример 1. Геометрическая прогрессия является решением уравнения un+1=qun . Ее члены описываются формулой un= u0qn . Отсюда геометрическая прогрессия является возвратной последовательностью порядка 1.
Пример 2. Арифметическая прогрессия un = u0 + nd удовлетворяет соотношению un+1 un = un+2 un+1 . Получаем однородное рекуррентное уравнение un+2 = 2un+1 un . Начальные данные задаются значениями u0 и u1=u0+d. Отсюда арифметическая прогрессия является возвратной последовательностью порядка 2.
Пример 3.Произвольная периодическая последовательность является возвратной последовательностью порядкаp, удовлетворяющей рекуррентному соотношению
un + p=un. Здесьp– период последовательности.
Для заданного рекуррентного уравнения
un + r = c1 un + r – 1 + c2 un + r – 2 + ∙ ∙ ∙ + cr un
найдем производящую функцию возвратной последовательности {un}. ОбозначимK(x)=1 c1x c2x2 ∙ ∙ ∙ crxr.
Теорема 1. Произведение u(x)K(x) = D(x) является многочленом степени меньшей, чем r.
Доказательство.Вычислим коэффициент рядаD(x)приxn+ r . Он при n≥ 0 будет равенun + r (c1 un + r – 1 + c2 un + r – 2 + ∙ ∙ ∙ + cr un)= 0. ОтсюдаD(x)– многочлен степени меньшей, чем n.
- А.А. Хусаинов н.Н. Михайлова дискретная математика
- Введение
- 1. Множества и отношения
- 1.1. Способы задания множеств
- 1.2. Операции и их свойства
- Предложение. Пусть u – множество. Тогда для любых его подмножеств a, b и c верны равенства:
- 1.3. Решение уравнений с неизвестным множеством
- 1.4. Перечисление подмножеств
- 1.5. Отношения и функции
- Операции над бинарными отношениями. Бинарным отношением между элементами множеств a и b называется произвольное подмножество r ab. Запись aRb (при a a, b b ) означает, что (a,b) r .
- Обозначим IdA через Id. Легко видеть, что имеет место следующее
- Нижняя грань обозначается через . Двойственно, как наименьший элемент множества , определяетсяверхняя грань .
- Лемма 1. Если конечное частично упорядоченное множество (X,) является нижней полурешеткой и имеет наибольший элемент, то оно будет решеткой.
- Теорема 1. Пусть X – конечное множество. Множество отношений эквивалентности на X с отношением включения является решеткой.
- 1.7. Математическое моделирование баз данных
- Определение 1. (1nf) Файл находится в первой нормальной форме, если для него задано некоторое положительное целое число n и последовательность множеств (a1, , An) таких, что
- Определение 2.
- Определение 3. (2nf) Файл с первичным ключом находится во второй нормальной форме, если он находится в первой нормальной форме, и для любого атрибут Ak функционально полно зависит от атрибутов .
- Третья нормальная форма
- 2. Комбинаторика
- 2.1. Размещения
- 2.2. Сочетания
- Теорема 2. Число сочетаний из n по k равно .
- Пример 2. Число неубывающих сюръекций n 1 равно .
- Лемма 1. Пусть - число сочетаний с повторениями изn по k. Тогда равно числу неубывающих функций{1,2, , n-1} {0,1,2, , n}
- Теорема 7. .
- Следствие 1. Равно числу неубывающих функций
- Формула включения и исключения Перечисление элементов объединения подмножеств. Обобщим формулу
- Теорема 1. (Формула включения-исключения)
- Теорема 2.
- 2.4. Разбиения
- Лемма 1. .
- Теорема 1.
- Пример 2. Число s(4,2) равно 7, ибо все разбиения множества {1,2,3,4, 5, 6, 7} на два блока исчерпываются следующими:
- Теорема 2. Имеют место следующие свойства чисел Стирлинга второго рода:
- Теорема 3. ,n 0 .
- 2.5. Упражнения
- Упорядоченные разбиения
- Формула включения и исключения
- Неупорядоченные разбиения
- 3. Производящие функции
- 3.1. Свойства производящих функций
- 3.2. Разбиения чисел
- Лемма 1. Число разбиений p(n) равно количеству решений
- Замечание. Частное от деления любых двух многочленов является производящей функцией некоторой возвратной последовательности, порядок которой равен степени знаменателя.
- Получаем . Следующий шаг – разложение знаменателяK(X) в произведение (1 1x) (1 2x). В данном случае это можно сделать с помощью формулы Виеты. Поскольку имеют место равенства
- 3.5. Упражнения Свойства производящих функций
- Решение рекуррентных уравнений
- 4.1. Эйлеровы графы
- Теорема 1. Граф является эйлеровым тогда и только тогда, когда нечетную степень имеют не более двух вершин.
- 4.2. Простые графы и их свойства
- Замечание. Теорема Эйлера имеет место и для графов, не являющихся простыми.
- 4.3. Хроматическое число и хроматическая функция графа
- Теорема 1. Следующие свойства графа равносильны
- Теорема 3. Хроматическая функция f (q) конечного графа с n вершинами является многочленом степени не более, чем n.
- Число последовательностей из n-2чисел принадлежащих множеству{1, 2, ∙ ∙ ∙, n}равноnn-2, значит число нумерованных деревьев равноnn-2.
- Для всякого элемента aa слово a есть терм;
- В нормальной форме Бэкуса-Наура определение будет следующим:
- Теорема 1. Числа Каталана равны .
- 4.6. Плоские графы Эйлерова характеристика. Двумерной клеткой мы будем называть часть поверхности, ограниченную некоторым криволинейным многоугольником.
- Графы Куратовского. Далее мы рассмотрим следующие две задачи.
- Следствие 1. Граф k5 не плоский.
- Следствие 2. Граф k3,3 не плоский.
- Лемма 2. Пусть (V,e) – плоский конечный граф. Тогда существует вершина VV такая, что d(V) 5. Здесь d(V) – степень вершины V.
- Теорема 4. Для плоского связного графа существует правильная раскраска вершин в 5 цветов.
- Теорема 5. Пусть p – число вершин, q – число ребер, r – число граней правильного многогранника. Тогда возможен один из следующих случаев, рассмотренных в таблице 4.1.
- 4.7. Упражнения Свойства графов
- Хроматическое число и хроматическая функция графа
- 20.Найти хроматическую функцию графа An , приведенного на рис. 4.16.
- Деревья
- 5. Конечные частично упорядоченные множества
- 5.1. Диаграмма Хассе частично упорядоченного множества
- Пример 1. На рис. 5.1 показана диаграмма Хассе множества p({0,1,2}) подмножеств множества {0,1,2}, упорядоченное отношением .
- 5.2. Функция Мебиуса
- Определение 1. Функцией Мебиуса : XXz называется функция, определенная по формуле
- 5.3. Формула обращения
- 5.5. Упражнения Диаграмма Хассе
- Функция Мебиуса
- Расчетно-графическое задание
- Пример решения задачи 1
- Контрольная работа
- Варианты заданий
- Примеры решения задачи 1
- Варианты заданий
- Пример решения задачи 2
- Варианты заданий
- Пример решения задачи 3
- Варианты заданий
- Пример решения задачи 4
- Варианты заданий
- Пример решения задачи 5
- Варианты заданий
- Пример решения задачи 6
- Варианты заданий
- Пример решения задачи 7
- Экзаменационные вопросы и задачи Вопросы
- Литература
- Содержание