1.2. Динамическая модель восстания: случай войны в Ираке (на основе системы дифференциальных уравнений)

Ларри Бланк, Кэйд Симсонс и др. в своей статье «Динамическая модель войны в Ираке» рассматривают систему дифференциальных уравнений, чтобы описывать восстание в Ираке. Система имеет четыре возможных результата или случая:

• Увеличение коалиции США по величине и увеличение количества атак повстанцев.

• Размер коалиции США уменьшается, и уменьшается количество атак повстанцев.

• Размер коалиции США возрастает, и количество атак повстанцев становится меньше.

• Размер коалиции США уменьшается, и количество атак повстанцев увеличивается.

Какой случай является важным, зависит от показателей вербовки коалиции США и повстанцев, а также боевой эффективность обеих сторон.

В модели Ричардсона вооруженные силы одной стороны непосредственно связаны с вооруженными силами противоположной стороны. Гонка вооружений – один возможных результатов. В модели Ланчестера размер одной армии обратно пропорционально связан с размером другой из-за боевых потерь. "Норма усиления" также введена Брауном (1986), которая только зависит от времени t. В моделях партизанской войны вербовка партизанами зависит от взаимодействия между партизанами и населением, которым они управляют, потери партизан зависят от взаимодействия между партизанами и государственными войсками. В моделях терроризма вербовка террористов зависит от общественной поддержки террористической деятельности. Для случая войны в Ираке модель должна быть усовершенствованна, чтобы включать особенности всех вышеупомянутых моделей так же, как особенности, которые являются определенными для войны в Ираке. В случае терроризма и мятежа, террористы и повстанцы не будут носить униформу. Они могут участвовать во внезапных атаках и исчезать в общей массе населения. Повстанцы определены как группы, которые активно планируют и выполняют нападения на вооруженные силы и поддерживают войска коалиции. Возглавляемая США коалиция включает иракскую полицию, военные и объединенные вооруженные силы 48 других государств – членов коалиции. С этими уточнениями мы исключаем насилие сектантской и гражданской войны, потому что эти действия направлены не против военнослужащих и, возможно, не закончатся, когда коалиция покинет страну. Террористы и повстанцы могут быть как организованными так и не организованными. Они могут состоять из многих маленьких или больших групп, действующих независимо, либо они могут состоять из людей, действующих сообща. Все повстанцы попадают под одно определение, действуют ли они одни или связанны с Аль-Каидой. У различных групп есть различные побуждения, интересы и методы, но они нападают на войска коалиции, и у всех есть одна общая цель ­- смерть военных коалиции. Когда Соединенные Штаты выйдут из Ирака, иракская полиция и вооруженные силы все еще будут целями, но не как коалиция, возглавляемая США. Повстанцы, возможно, не интересуются управлением территорией, но вместо этого могут быть политически мотивированы. Сэндлер и Хертли (1995), заявили, что люди могут быть вовлечены в террористическую деятельность, но не в восстание (даже притом, что восстания могут принять террористическую деятельность). Таким образом, террористы могут применять бомбежки, похищения, и нападения, чтобы продвигать свою идеологию, также выпускать заключенных без намерения свергнуть правительство. В войне в Ираке повстанцы заинтересованы в выводе из Ирака того, кого они считают военными, занимающими их территорию - это коалиция. Повстанцы желают иметь свое место и статус в сохраненном Ираке, даже если это приведет к разрушению существующего иракского правительства. Согласно сообщению группы по изучению Ирака (2006), большинство нападений на американцев все еще происходит мятежными арабами-суннитами. Мятеж включает прежние элементы режима Саддама Хусейна, недовольных жителей Ирака, арабов-суннитов и уголовных преступников. Мятеж не имеет никакого единственного лидера, но представляет собой разветвленную сеть. Движение черпает силы из точного знания участников инфраструктуры Ирака, оружие и финансирование поставляются, прежде всего, изнутри самого Ирака. У повстанцев есть различные цели, хотя почти все выступают против присутствия американских сил в Ираке. Большинство желаний связано с восстановлением прав арабов-суннитов в стране. Некоторые стремятся подчинить местную власть и получить контроль.

Чтобы смоделировать взаимодействие между повстанцами в Ираке и возглавляемой США коалицией, рассмотрим присутствие возглавляемых США сил, как противостояние двух эффектов, связанных с количеством атак повстанцами:

1) приводит к уменьшению в числе атак повстанцами из-за боевых потерь для повстанцев;

2) приводит к увеличению в числе повстанческих атак из-за добавленного числа новичков, которые выступают против возглавляемых США сил в Ираке и из-за явного числа войск США и коалиции, которые находятся в непосредственной близости от повстанцев. Эти два эффекта иллюстрированы следующим образом:

где

I - число нападений повстанцами;

С - число возглавляемых США сил коалиции;

- коэффициент эффективности коалиции;

- эффект, который коалиция во главе с США оказывает на повстанческие нападения (норма вербовки повстанцев).

Первый параметр предполагает, что повстанческие нападения уменьшатся с присутствием коалиции. Символ используется, чтобы представить норму вербовки для повстанцев, так как большее присутствие коалиции приводит к большему количеству повстанческих новичков. Символ , однако, только свободно используется как норма вербовки, так как повстанческие нападения I могут увеличиться, как может увеличиваться размер коалиции C, просто вследствие того, что больше войск коалиции находится в зоне поражения, притом, что нет никаких новых повстанческих новичков. В этой системе повстанческие нападения I не появляются в правой стороне уравнения. Причина этого состоит в том, что предполагается, что большее число повстанческих нападений непосредственно не приводит к большему количеству повстанческих новичков в течение долгого времени. Вербовка повстанцев и их нападения, зависят только от присутствия возглавляемой США коалиции. Однако размер коалиции в течение долгого времени зависит от числа повстанческих нападений (). Таким образом, изменение в повстанческих нападениях, , только косвенно зависит от повстанческих нападений. Это отличается от партизанской войны, в чем партизанская вербовка кардинально и непосредственно зависит от взаимодействия партизан и населения, которым они управляют. Фактически, нападения мятежников и вербовка повстанцев больше соответствуют террористической модели Фариа и Арса(2005) тем, что террористическая деятельность может зависеть от прошлой террористической деятельности, но она также может и не зависеть от прошлой террористической деятельности. Например, из-за существования повстанцев, которые нападают чаще просто из-за их укоренившихся верований, что на их земле присутствуют иностранные войска.

По подобным причинам повстанческие нападения I, не приводят к меньшему количеству повстанческих нападений в течение долгого времени. Простое присутствие возглавляемой США коалиции может привести к меньшему количеству повстанческих нападений из-за повышения денежных средств, необходимых на организацию теракта. Чтобы заставить повстанческие нападения уменьшаться, не должно быть никакого взаимодействия между повстанцами и коалицией. В моделях партизанской войны взаимодействие между партизанами и правительственными войсками крайне важно для определения потерь среди партизан.

Уравнение, подобное предыдущему, может быть получено, если мы покажем, как нападения повстанцев I затрагивают размер коалиции C в течение долгого времени. Данное число нападений повстанцами I приводит к уменьшению возглавляемых США сил C в течение долгого времени (они должны сражаться с потерями), но это также приводит к большему количеству американских войск, посланных в Ирак, чтобы сократить число нападений. Эти два эффекта показаны ниже.

где

I - представляет число нападений повстанцами;

C - представляет размер коалиции;

- представляет боевую эффективность повстанческих нападений;

- представляет норму вербовки коалиции.

В этой модели больше военных коалиции послано в Ирак. Увеличение численности военных происходит из-за повстанческих нападений, а не из-за численности повстанцев. Эти два противостоящих эффекта C на и I на , дают начало следующей системе одновременных отличительных уравнений:

где

и - коэффициенты показателя вербовки повстанцев и коалиции;

и -боевые коэффициенты эффективности повстанцев и коалиции, все положительны.

Таким образом, в первом уравнении, повстанческие нападения I увеличиваются в течение долгого времени из-за присутствия коалиции C, если показатель вербовки повстанцев превышает повстанческие потери из-за боевой эффективности коалиции. Так же для второго уравнения, размер коалиции увеличивается в течение долгого времени для данного числа повстанческих нападений, если норма вербовки коалиции превышает потери коалиции. Данная система может быть записана так:

(1)

где и - "чистые" нормы вербовки повстанцев и коалиции соответственно (вербовка оценивается минус убытки из-за борьбы).

Есть несколько возможных решений этой системы в зависимости от знаков показателей чистой вербовки и . Первый случай, который рассматривают (Случай 1), - когда и - оба положительных. Общее решение системы (1):

где A и B - константы.

Решение для равновесия является I = 0 и C = 0, когда возглавляемая США коалиция пропадает, а иракская полиция и вооруженные силы больше не поддерживаются Соединенными Штатами. Это равновесие - результат модели мятежа, в котором , когда нет никакого присутствия коалиции и никаких дальнейших нападений мятежа. В модели мятежа предполагается, что коалиция не обеспокоена постоянным занятием территории, и нападения повстанцев происходят только в ответ на возглавляемое США присутствие коалиции. В то время как отсутствие возглавляемой США коалиции может привести к продолжающейся гражданской войне между Суннитами и Шиитами, этот конфликт был бы частью большей модели конфликта. Равновесие является непостоянным решением, так как собственные значения системы . Орбиты или траектории фазы системы даются уравнением . Объединение этого уравнения приводит к уравнению , где V константа, которая приводит к кривым (рисунок 1). Только сектор с положительными переменными I и C (первая четверть) имеет смысл: так как переменные представляют число повстанческих нападений и размер возглавляемой США коалиции соответственно. Решение, данное в соответствии с рисунком 1, показывает, что нет никакого победителя в этом случае. С положительными чистыми нормами вербовки (>0 и >0) число нападений повстанцами увеличивается с размером коалиции, и увеличение размера коалиции приводит к росту числа повстанческих нападений. Нет конца конфликту: и размер коалиции и число нападений повстанцев непрерывно увеличиваются в течение долгого времени.

Рисунок 1. и

В случае 2 чистые нормы вербовки для повстанцев и коалиции в системе уравнения отрицательны ( и ). Присутствие возглавляемых США сил приводят к уменьшению в числе повстанческих нападений, а повстанческие нападения приводят к уменьшению в числе войск коалиции, так как боевая эффективность каждой стороны перевешивает усилия по пополнению с обеих сторон. Решение для равновесия системы: I=0, C=0, которые также оказывают непостоянное решение с теми же самыми собственными значениями, как показано в случае 1. Орбиты или траектории фазы даны тем же самым уравнением, как и в случае 1, и снова диаграмма фазы представляет седло. Однако стрелки, указывают на траектории фазы, в этом случае различны. Это показано на рисунке 2.

Рисунок 2. и

Соответствующий сектор содержит положительные переменные I и C, и траектории фазы снова дают , гдеи , и в случае 2. Коалиция C победит, если C>0 и I=0 (коалиция все еще будет присутствовать, когда повстанческие нападения будут устранены), это произойдет, если V<0. Таким образом, результат победы для коалиции (V<0) требует: 1) увеличения боевой эффективности коалиции, понижая норму вербовки повстанцев и уменьшая их боевую эффективность; 2) увеличения нормы вербовки коалиции. Если V>0, коалиция будет устранена прежде, чем прекратятся нападения повстанцев, и они выиграют конфликт. Заключительная возможность состоит в том, если V=0. Здесь и коалиция, и повстанческие нападения совместно устранены, конфликт заканчивается вничью.

В случае 3 чистая норма вербовки повстанцев отрицательна (), но чистая норма вербовки коалиции положительна (). Присутствие коалиции сокращает число повстанческих нападений. Это приводит к следующей системе дифференциальных уравнений:

(2)

где . В этом примере - отрицательный коэффициент чистой нормы вербовки повстанцев, - чистая норма вербовки коалиции. Таким образом, получаем общее решение системы (2):

Собственные значения этой системы. Диаграмма фазы для этой системы показана на рисунке 3. Как можно заметить по стрелкам-указателям на траекториях фазы (сектор с положительным I и C), коалиция выиграет конфликт. Этот случай довольно ясный. Если присутствие коалиции, приведет к уменьшению в числе повстанческих нападений в течение долгого времени (отрицательная чистая норма вербовки для повстанцев, и ), и повстанческие нападения приводят к увеличению в числе возглавляемых США войск в течение долгого времени (положительная чистая норма вербовки для коалиции, и ), то возглавляемая США коалиция выиграет конфликт. На рисунке 3 (первая четверть) видно, что повстанческие нападения I будут устранены, в то время как коалиция остается в Ираке.

Рисунок 3. и

В случае 4 чистая норма вербовки повстанцев положительна (), а чистая норма вербовки коалиции отрицательна (). Присутствие ведомых США сил (коалиция) приводит к увеличению в числе повстанческих нападений, а это приводит к уменьшению численности коалиции. Эта система дифференциальных уравнений показана ниже.

где .

В этом примере - отрицательная чистая норма вербовки для коалиции, а - положительная чистая норма вербовки для повстанцев. Собственные значения системы - . Диаграмма фазы системы показана на рисунке 4. В случае 4, повстанцы выигрывают конфликт. Причина ясна: если присутствие ведомой США коалиции приведет к большему количеству повстанческих нападений в течение долгого времени (из-за положительной чистой нормы вербовки для повстанцев, и ), а повстанческие нападения приведут к уменьшению численности коалиции в течение долгого времени (из-за отрицательной чистой нормы вербовки для коалиции, и ), то повстанцы выиграют конфликт.

Рисунок 4. и

Подведем итоги - динамическая модель восстания задана системой следующей одновременных уравнений:

где

I - количество атак повстанцев; C - размер коалиции;

ri (rc) - коэффициент показателя вербовки повстанцев (коалиции);

γ_i (γ_c) - боевой коэффициент эффективности повстанцев (коалиции);

δi и δc - определены, чтобы быть коэффициентами показателя чистой вербовки (вербовка оценивается минус боевые убытки из-за боевой эффективности противоположной стороны) повстанцев и коалиции соответственно.

Используя реальные данные, полученные в ходе войны в Ираке, из статьи «A Dynamic Model of Insurgency: The Case of the War in Iraq»^[3], была реализована «Динамическая модель восстания: случай войны в Ираке» (на основе системы дифференциальных уравнений), которая рассматривает возможное развитие событий. Эта модель имеет четыре случая:

1. δi > 0 и δc > 0. В данном случае повстанцы увеличивают количество нападений, и размер коалиции тоже увеличивается в течение долгого времени. Результат: никакая сторона не выигрывает, и конфликт усиливается с C и I (рисунок 5).

Рисунок 5. «Динамическая модель восстания: случай войны в Ираке» (δi>0, δc>0).

2. δi < 0 и δc < 0. Для данного случая характерно уменьшение численности коалиции и атак повстанцев. Результат: для коалиции, чтобы выиграть конфликт (C > 0 и I = 0), должны быть удовлетворены определенные условия: a) увеличение боевой эффективности коалиции; b) уменьшение показателя вербовки повстанцев; c) снижение боевой эффективность повстанцев; d) увеличение показателя вербовки коалиции (рисунок 6).

Рисунок 6. «Динамическая модель восстания: случай войны в Ираке» (δi<0, δc<0).

3. δi < 0 и δc > 0. При этом характерно уменьшение атак повстанцев и увеличение количества солдат коалиции. Результат: коалиция выигрывает конфликт (рисунок 7).

Рисунок 7. «Динамическая модель восстания: случай войны в Ираке» (δi<0, δc>0).

4. δi > 0 и δc < 0. Происходит увеличение атак повстанцев, а размер коалиции уменьшается со временем. Результат: повстанцы выигрывают конфликт (рисунок 8).

Рисунок 8. «Динамическая модель восстания: случай войны в Ираке» (δi>0, δc<0).