Завдання 1
Розвязати систему рівнянь методом Крамера, методом оберненої матриці та методом Гаусса.
Розвязок
а) Знайдемо визначник системи, складений з коефіцієнтів при невідомих системи, шляхом його розкладу по елементам першого рядка
Знайдемо одержані з визначника системи заміною в ньому стовпця коефіцієнтів при відповідних невідомих стовпцем вільних членів
;
Знайдемо невідомі за формулами Крамера
б) Метод оберненої матриці
Позначивши
Одержимо матричне рівняння Помноживши обидві частини цього рівняння на одержимо матричне рівняння:
Знайдемо обернену матрицю, для чого визначимо алгебраїчні доповнення елементів матриці
Звідси:
в)/ Метод Гаусса.
Метод Гаусса (метод виключення змінних) полягає в тому, що за допомогою елементарних перетворень система рівнянь приводиться до рівносильної системи східчастого (або трикутного) вигляду, з якої послідовно, починаючи з останніх (за номером) змінних, визначаються всі інші змінні.
Існують різні схеми реалізації метода Гаусса. Однією із зручних схем є схема перетворень розширеної матриці системи.
Складемо розширену матрицю системи
та позначимо її вихідні рядки буквами тобто .
Змінюючи верхній індекс позначки рядка після кожного перетворення, покажемо, які саме перетворення відбуваються над відповідними рядками.
Перший етап розвязку системи (прямий хід) має вигляд:
матрица гаусс кут ребро крамер
Система рівнянь прийняла трикутний вигляд. Другий етап розвязку (зворотний хід) можна виконати в матричній формі, як це зроблено вище, а можна шукані змінні знайти безпосередньо із системи рівнянь.
Відповідь: х1=1; х2=2; х3=3.