Аналітична геометрія

контрольная работа

Завдання 1

Розвязати систему рівнянь методом Крамера, методом оберненої матриці та методом Гаусса.

Розвязок

а) Знайдемо визначник системи, складений з коефіцієнтів при невідомих системи, шляхом його розкладу по елементам першого рядка

Знайдемо одержані з визначника системи заміною в ньому стовпця коефіцієнтів при відповідних невідомих стовпцем вільних членів

;

Знайдемо невідомі за формулами Крамера

б) Метод оберненої матриці

Позначивши

Одержимо матричне рівняння Помноживши обидві частини цього рівняння на одержимо матричне рівняння:

Знайдемо обернену матрицю, для чого визначимо алгебраїчні доповнення елементів матриці

Звідси:

в)/ Метод Гаусса.

Метод Гаусса (метод виключення змінних) полягає в тому, що за допомогою елементарних перетворень система рівнянь приводиться до рівносильної системи східчастого (або трикутного) вигляду, з якої послідовно, починаючи з останніх (за номером) змінних, визначаються всі інші змінні.

Існують різні схеми реалізації метода Гаусса. Однією із зручних схем є схема перетворень розширеної матриці системи.

Складемо розширену матрицю системи

та позначимо її вихідні рядки буквами тобто .

Змінюючи верхній індекс позначки рядка після кожного перетворення, покажемо, які саме перетворення відбуваються над відповідними рядками.

Перший етап розвязку системи (прямий хід) має вигляд:

матрица гаусс кут ребро крамер

Система рівнянь прийняла трикутний вигляд. Другий етап розвязку (зворотний хід) можна виконати в матричній формі, як це зроблено вище, а можна шукані змінні знайти безпосередньо із системи рівнянь.

Відповідь: х1=1; х2=2; х3=3.

Делись добром ;)