Завдання 5

Знайти першу та другу похідні заданих функцій:

а) б) в)

г) д)

Розвязок

а) Явно задана функція уявляє собою добуток степеневої функції на складну логарифмічну функцію. Похідні функції знаходимо відповідно з її будовою та правилами диференціювання: похідна добутку, похідні степеневої та логарифмічної функцій, похідна складної функції. Тоді

Друга похідна є похідною від першої похідної. Тобто :

б) Добуток многочлена на обернений тангенс диференціюється за правилами, наведеними у попередньому прикладі.

Розвязок:

в) Якщо функція задана неявно, то для відшукання похідної треба продиференціювати обидві частини заданої рівності по х, памятаючи, що у є функцією від х, та розвязати отримане рівняння відносно відповідної похідної

Другу похідну знаходимо у тій же послідовності з рівняння, позначеного .

Першу похідну можна усунути з останнього рівняння, приймаючи до уваги рівняння

Тоді

г) Перша похідна функції, заданої параметрично:

обчисляється за формулою:

Тоді

Друга похідна:

Тоді

д)