4. Биекторы и их свойства

Для локальной формации каждая конечная разрешимая группа обладает единственным классом мопряженных -проекторов. Если --- радикальный класс, т. e. класс Фиттинга, то каждая конечная разрешимая группа содержит единственный класс сопряженных -инъекторов. Но наиболее употребительными в современной алгебре классы конечных групп являются одновременно и локальными формациями, и радикальными классами. Поэтому вполне естественно встает вопрос о существовании -биекторов в конечных разрешимых группах для локальной радикальной формации .

В настоящей работе показывается, что -биекторы во всех разрешимых группах существуют только в том случае, когда совпадает с классам всех разрешимых -групп. Кроме того устанавливается, что в метанильпотентных группах существование -биектора превращает его в -холловскую подгруппу, и приведен пример, показывающий, что в разрешимых группах ступени нильпотентности это свойство нарушается.

Пусть --- класс групп. Через обозначается совокупность всех простых чисел , для которых в существует неединичная -подгруппа, т. е. . Множество называется характеристикой класса .

Для любого множества простых чисел через обозначается класс всех нильпотентных -групп.

Лемма Если --- класс Шунка, то .

Доказательство. Пусть . Ясно, что примитивная нилпотентная группа имеет простой порядок. Если --- произвольная примитивная факторгруппа группы , то имеет простой порядок . Так как , то . Из определения класса Шунка получаем, что . Таким образом, . Обратно, если , то для любого простого делителя порядка существует подгруппа индекса . Так как , то и . Лемма доказана.

Следствие Если --- локальная формация, то .

Доказательство. Достаточно вспомнить, что локальная формация является насыщенной, а значит и классом Шунка.

Лемма Пусть --- класс Шунка и --- конечная нильпотентная группа. Если --- подгруппа из , то является -проектором в тогда и только тогда, когда --- -холловская подгруппа.

Доказательство. Пусть --- -проtктор в группе . Так как , то по лемме подгруппа является -подгруппой. Пусть --- -холловская в подгруппа. Ясно, что . Nак как , то --- -подгруппа и .

Обратно, пусть --- -холловская подгруппа и пусть --- -проектор в . Так как , то --- -подгруппа и .

Лемма Если --- радикальныи класс, то .

Доказательство. Если , то в существует субнормальная подгруппа простого порядка , для любого . Поэтому , , и .

Обратно, пусть , тогда для каждого в существует подгруппа . Значит все -подгруппы содержатся в . Так как замкнут относительно прямых произведений, то . Лемма доказана.

Лемма Пусть --- радикальный класс и --- конечная нильпотентная группа. Если --- подгруппа из , то является -инъектором в тогда и только тогда, когда --- -холловская подгруппа.

Доказательство. Пусть --- -инъектор в . Так как , то будет -подгруппой в . Если --- -холловская в подгруппа, то и --- -подгруппа. Поэтому .

Обратно, если --- -холловская подгруппа в , то . Если --- -инъектор, то и --- подгруппа, поэтому . Лемма доказана.

Пусть , где --- пробегает все группы из . Если --- разрешимый радикальный класс, то .

Следствие Пусть --- радикальный класс Шунка. Тогда в каждой конечной нильпотентной группе существует -биектор и подгруппа является -холловской подгруппой группы .

Доказательство получаем из лемм и .

Следствие Пусть --- радикальная локальная формация. Тогда в каждой нильпотентной группе существует -биектор и подгруппа является -холловской подгруппой группы .

Обозначим через совокупность всех -проекторов группы , а через совокупность всех -инъекторов.

Теорема Пусть --- радикальный класс Шунка. Если в конечной метанильпотентной группе существует -биектор , то является -холловской подгруппой группы .

Доказательство. Пусть . Так как в разрешимой группе все -проекторы и все -инъекторы сопряжены между собой, то .

Пусть --- подгруппа Фиттинга. Так как --- -инъектор в , то по лемме подгруппа является -холловской подгруппой в .

Так как нильпотентна и является -проектором в , то будет -холловской подгруппой в по лемме . Поскольку , то - -подгруппа. Кроме того, и есть -число. Значит, --- -холловская подгруппа.

Следствие Пусть --- радикальная локальная формация. Если в конечной метанильпотентной группе существует -биектор , то является -холловской подгруппой группы .

Замечание. Группа не является метанильпотентной, но -проекторы и -инъекторы совпадают между собой и являются нехолловскими подгруппами порядка .

Теорема Пусть --- радикальный класс Шунка и --- нормально наследственный гомоморф. Если в каждой группе существует -биектор, то .

Доказательство. Предположим, что не содержится в , и пусть --- группа наименьшего порядка из разности . Если имеет простой порядок , то и , противоречие. Значит, --- группа непростого порядка и можно выбрать нетривиальную нормальную в подгруппу . Так как и --- -подгруппа в , то и .

Пусть --- -биектор в . Тогда --- -инъектор в и . Поскольку является -проектором в , то -максимальна в . Так как --- гомоморф, то , а по выбору группы получаем, что , т. е. и , противоречие. Значит, допущение не верно и .

Следствие Если --- радикальный класс Шунка, для которого в каждой конечной разрешимой группе существует -биектор, то .

Следствие Если --- радикальная локальная формация, для которой в каждой конечной разрешимой группе существует -биектор, то .

Для натурального числа через обозначим класс всех разрешимых грeпп нильпотентной длины не более . При имеем класс всех нильпотентных групп, а при --- класс всех метанильпотентных групп.

Лемма Для любого натурального числа , класс является радикальной насыщенной наследственной формацией.

Доказательство. Применим индукцию по . При имеем класс всех нипьпотентных групп, он являетсяся насыщенной наследственной формацией и классом Фиттинга. Пусть утверждение справедливо для . По следствию (3)

Но класс состоит из всех разрешимых групп нильпотентной длины, меньшей либо равной , т. е. , поэтому

Согласно следствию (2) класс насыщенная формация, а по теореме (1) и радикальныи. В силу леммы(1), он наследственныи класс. Следовательно, класс является радикальной насыщенной наследственной формацией. Лемма доказана.

Лемма Пусть --- разрешимая группа и . Если --- -проектор группы , то .

Доказательство. Поскольку --- насыщенная формация, то -проектор в группе существует согласно следствию . Поскольку , то . Если , то и утверждение доказано. Пусть и . По лемме(2), , а поскольку --- -проектор группы , то . Тогда , следовательно, , и . Теорема доказана.

Теорема Если в разрешимой группе существует -биектор и , то .

Применим индукцию по порядку группы. Пусть --- -биектор группы . Нам надо доказать, что . Предположим, что и . Тогда является -биектором подгруппы по лемме и следствию . По индукции ,следовательно, --- максимальная подгруппа группы .

Так как -- -инъектор группы , то -радикал и . По теореме ,

(2)

Поскольку - -проектор группы , то и согласно лемме . Следовательно,

(3)

Согласно лемме (2) , а из равенств (2) и (3) находим, что .Получили противоречие. Теорема доказана.

Заметим что в условии этой теоремы требование не является лишним. Для в симметрической группе силовская -подгруппа является -биектором.