logo
Лекции_по_ДМ

Конечные группы

Группа (полугруппа) называется конечной, если она состоит из конечного числа элементов. Число элементов конечной группы называется её порядком. Любая подгруппа конечной группы конечна. И если НG – подгруппа группы G, то для любого элемента аG множество На={х: x=h◦a, для любых hH} называется левым классом смежности для G относительно Н. Понятно, что число элементов в На равно порядку Н. (Аналогично можно сформулировать определение аН – правого класса смежности относительно Н).

Важно то, что для любой подгруппы Н группы G любые два левых (правых) класса смежности по Н либо совпадают, либо не пересекаются, поэтому любая группа может быть представлена как объединение непересекающихся левых (правых) классов смежности по Н.

Действительно, если два класса Нa и Hb, где a, bG, имеют общий элемент х, то существует tH такое, что x = t◦a. И тогда левый класс для х: Нх={y: y=h◦x= h◦(t◦a) = (h◦t)◦a} Ha, но a= t‑1◦x и Нa={y: y=h◦a= h◦(t‑1◦x) = (h◦t‑1)◦x} Hx. Отсюда Нх = Нa. Аналогично можно показать, что Нх = Нb. И, следовательно, Нa = Нb. Если же классы Нa и Hb не имеют общих элементов, то они и не пересекаются.

Такое разбиение группы на левые (правые) классы смежности называется разложением группы по подгруппе Н.

      1. Порядок конечной группы делится на порядок любой её подгруппы.

Доказательство. Так как G – конечная группа, то и любая её подгруппа Н имеет конечный порядок. Рассмотрим разложение группы по подгруппе Н. В каждом классе смежности в этом разложении число элементов одинаково и равно порядку Н. Поэтому, если n – порядок группы G, а k – порядок подгруппы Н, то n=mk, где m – число классов смежности по Н в разложении группы G.

Если для любого элемента aGНa = аН (левый и правый классы смежности по подгруппе Н совпадают), то Н называется нормальным делителем группы G.

Утверждение: если G – коммутативная группа, то любая её подгруппа Н является нормальным делителем G.