10.4.3. Метод коши решения линейных

НЕОДНОРОДНЫХ УРАВНЕНИЙ

Метод Коши имеет два несомненных преимущества перед всеми ранее рассмотренными методами поиска частного решения линейного дифференциального уравнения. Во-первых, этим методом можно решать линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и любой кусочно-непрерывной правой частью, во-вторых, при решении практических задач (в механике, математической физике, сопротивлении материалов и т.д.) метод Коши позволяет, не находя общего решения, сразу найти частное решение, удовлетворяющее поставленным начальным условиям.

Рассмотрим этот метод на примере линейного дифференциального уравнения второго порядка. Оно должно быть приведенным, то есть коэффициент при старшей производной должен быть равен единице:

(10.29)

По теореме 4 о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения общее решение уравнения (10.29) имеет вид , где– общее решение соответствующего однородного уравнения

, (10.30)

а – некоторое частное решение уравнения (10.29). Общее решениедифференциального уравнения (10.30) содержит две произвольные постоянные и находится в виде, где решенияобразуют фундаментальную систему решений.

Так как линейная комбинация любых решений линейного однородного дифференциального уравнения (10.30) – тоже решение (п.10.3.2, теорема 1), то можно найти сколько угодно ф.с.р.. Из всех них выделим одну систему фундаментальных функций , каждая из которых, являясь решением однородного уравнения (10.30), удовлетворяет следующим условиям:

. (10.31)

Такая система называется нормальной системой фундаментальных функций с единичной матрицей в нуле.

Заметим, что , где– транспонированная матрица Вронского для решений, вычисленная в точке. Поэтому нормальная система фундаментальных функций с единичной матрицей в нуле может быть найдена из произвольной таким образом:

.

Если общее решение однородного дифференциального уравнения (10.30) составить из фундаментальных функций с единичной матрицей в нуле, именно

, (10.32)

, то вследствие (10.31) такая форма представления решения будет обладать замечательным свойством:. Это означает, что произвольные постоянные равны значению функциии ее производной в точке.

Особо подчеркнем свойства последней фундаментальной функции : она является решением однородного дифференциального уравнения (10.30) и, кроме того,.

Частное решение неоднородного уравнения (10.29) может быть представлено в виде

. (10.33)

Покажем это, для чего подставим (10.33) в уравнение (10.29).

представляет собой интеграл с переменным верхним пределом, зависящий от параметра . Выведем формулу вычисления производной такого интеграла.

Рассмотрим функцию . По определению производной

.

вследствие свойства аддитивности определенного интеграла. Полагая функцию непрерывной, применим к последнему интегралу теорему о среднем значении (см. п.8.2):

,

где находится междуи.

Тогда

.

Отсюда имеем:

,

так как не зависит от. Переходя к пределу при, получим, что

. (10.34)

Пользуясь формулой (10.34), найдем производные частного решения (10.33):

,

.

Заметим, что , а также.

Подставим и найденные производные в (10.29):

,

так как – решение однородного дифференциального уравнения (10.30).

Итак, (10.33) – действительно, одно из частных решений уравнения (10.29), а потому общее решение этого дифференциального уравнения получаем в виде:

. (10.35)

Представление решения дифференциального уравнения (10.29) в виде (10.35) удобно по двум причинам:

1) произвольные постоянные имеют вполне определенный смысл, а потому решение задачи Коши можно найти сразу, не находя общего решения уравнения;

2) частное решение в виде (10.33) может быть найдено не только для непрерывной, но и для кусочно-непрерывной правой части.

Такой метод решения задачи Коши для дифференциального уравнения (10.29) называется методом Коши, а решение (10.35) – решением в форме Коши.

ПРИМЕР. Решить задачу Коши: .

1. Решим соответствующее данному однородное дифференциальное уравнение . Его характеристическое уравнение имеет вид:

.

2. Проверим, является ли найденная ф.с.р. нормальной системой фундаментальных функций с единичной матрицей в нуле (см.(10.31):

–значит, решение не подходит;

–значит, решение подходит.

Заметим, что так как по условию , в решении (10.35) функцияне будет использоваться, а потому мы ее и не будем искать.

3. Выпишем решение задачи Коши (10.35) при

:

.

ПРИМЕР. Решить задачу Коши: , где(рис. 3).

3. Найдем нормальную систему фундаментальных функций с единичной матрицей в нуле . Очевидно,, абудем искать в виде. Для определения неизвестных постоянныхполучаем систему линейных уравнений:

.

Таким образом, .

4. Выпишем решение задачи Коши (10.35):

.

Вычислим интеграл:

если , то (см. рис.3)

;

если , то

.

Таким образом, решение поставленной задачи Коши имеет вид:

.

ЗАМЕЧАНИЕ. Для линейных дифференциальных уравнений -го порядканормальная система фундаментальных функций с единичной матрицей в нуле определяется аналогично (10.31):

При этом для нахождения частного решения используется последняя из этих функций:

.