10.2.2. Однородные дифференциальные уравнения

ПЕРВОГО ПОРЯДКА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно привести к виду

. (10.5)

ПРИМЕРЫ.

а) – однородное дифференциальное уравнение первого порядка (это уравнение также является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными);

б) – не является однородным, так как не может быть приведено к виду (10.5);

в) . Чтобы убедиться в том, что это однородное дифференциальное уравнение, разделим обе его части на:

.

Теперь стало очевидным, что данное уравнение приводится к виду (10.5), то есть является однородным.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Многочлен -ой степени относительно двух переменныхназываетсяоднородным многочленом, если сумма показателей степеней во всех его одночленах одинакова и равна .

ПРИМЕРЫ.

а) – однородный многочлен первой степени;

б) – однородный многочлен третьей степени;

в) – однородные многочлены второй степени;

г) – не является однородным многочленом.

Уравнения вида , или, где

–однородные многочлены -ой степени, являются однородными дифференциальными уравнениями первого порядка.

Однородное дифференциальное уравнение первого порядка сводится к уравнению с разделяющимися переменными в результате замены переменной по формуле: . Действительно, так как, то, поэтому после выполнения подстановки уравнение (10.5) примет вид, а дифференциальное уравнениеявляется уравнением с разделяющимися переменными.

ПРИМЕР. Решить задачу Коши .

Данное дифференциальное уравнение является однородным, поэтому сделаем замену переменной . Тогда имеем:– уравнение с разделяющимися переменными. Решим его:

.

Возвращаясь к «старым» переменным, получим общий интеграл .

Найдем решение, удовлетворяющее начальному условию :

–искомое частное решение.

Заметим, что если задать начальное условие , то соответствующее частное решение будет иметь вид.