10.3.2. Линейные дифференциальные

УРАВНЕНИЯ -го ПОРЯДКА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Линейным дифференциальным уравнением -го порядка называется уравнение вида

,

где .

Если , то уравнение называетсялинейным неоднородным дифференциальным уравнением, если же , то уравнение называетсялинейным однородным.

ПРИМЕРЫ.

а) – линейное неоднородное дифференциальное уравнение третьего порядка с переменными коэффициентами;

б) – линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами;

в) – нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка

, (10.11)

.

Уравнение

(10.12)

называется однородным дифференциальным уравнением, соответствующим линейному неоднородному уравнению (10.11). Это уравнение имеет решение , которое называется нулевым или тривиальным.

ТЕОРЕМА 1 (о линейной комбинации решений линейного однородного дифференциального уравнения). Пусть – два решения линейного однородного дифференциального уравнения (10.12). Тогда для любых постоянныхлинейная комбинациятакже является решением (10.12).

Доказать самостоятельно.

ПРИМЕР. Рассмотрим уравнение . Легко проверить непосредственной подстановкой, что функции– его решения.

По теореме 1 при любых функция

– решение этого дифференциального уравнения.

Функция тожеявляется решением.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Два решения однородного дифференциального уравнения (10.12) называются линейно независимыми, если их отношение постоянно. В противном случае эти решения называются линейно независимыми.

ПРИМЕР. Для решений уравнения из предыдущего примера имеем:

–линейно зависимы;

–линейно независимы;

–линейно независимы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Определителем Вронского функций называется функциональный определитель вида

.

Для двух функций определитель Вронского имеет вид .

ПРИМЕР. Для рассмотренных выше решений

; .

ТЕОРЕМА 2 (о необходимом и достаточном условии линейной зависимости решений линейного однородного дифференциального уравнения). Пусть непрерывны, а. Тогда для того, чтобы решениядифференциального уравнения (10.12) были линейно зависимы на, необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронскогобыл равен нулю хотя бы для одного значения.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

1. Необходимость: решения линейно зависимыхотя бы при одном значении.

По определению линейной зависимости двух решений .

2. Достаточность: решениядифференциального уравнения (10.12) линейно зависимы.

Так как (10.12) – линейное однородное дифференциальное уравнение, то оно имеет нулевое решение , для которого.

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений

. (10.13)

Ее основной определитель по условию, поэтому она имеет бесконечное множество решений (см.гл.1). Пусть– некоторое нетривиальное решение (10.13). Тогда функцияпо теореме 1 – решение (10.12), причем вследствие (10.13).

Таким образом, одним и тем же начальным условиям удовлетворяют два решения уравнения (10.12), что противоречит теореме Коши. Следовательно, , то есть решениялинейно зависимы.

Что и требовалось доказать.

ЗАМЕЧАНИЕ. Для линейной зависимости решений линейного однородного дифференциального уравнения-го порядка необходимо и достаточно, чтобы их определитель Вронского был равен нулю хотя бы в одной точке.

ТЕОРЕМА 3 (о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка). Пусть непрерывны,и– произвольные линейно независимые решения дифференциального уравнения (10.12). Тогда общее решение этого уравнения имеет вид:

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По теореме 1 – решение (10.12). Покажем, что оно общее.

Зададим произвольные начальные условия , удовлетворяющие условиям теоремы Коши. Тогда для определения постоянныхполучим систему линейных алгебраических уравнений

основной определитель которой по теореме 2.

Значит, система имеет единственное решение , а функция– решение дифференциального уравнения (10.12), удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Таким образом, по определению – общее решение дифференциального уравнения (10.12).

Что и требовалось доказать.

ПРИМЕР. Ранее были найдены линейно независимые решения дифференциального уравнения . Теперь можно записатьобщее решение этого уравнения:

или ,.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Совокупность линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения (10.12) называется егофундаментальной системой решений (ф.с.р.).

ПРИМЕР. Фундаментальную систему решений (ф.с.р.) уравнения образуют, например, функции, или функции.

ТЕОРЕМА 4 (о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения). Пусть – некоторое частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (10.11) с непрерывными коэффициентами, а– общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения (10.12). Тогда общее решение дифференциального уравнения (10.11) имеет вид:.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем, что – решение дифференциального уравнения (10.11). Подставим эту функцию в уравнение:

.

Покажем, что это решение – общее. Зададим произвольные начальные условия , удовлетворяющие условиям теоремы Коши.

По теореме 3 , где решениядифференциального уравнения (10.12) образуют ф.с.р. Тогда для определения постоянныхполучим систему линейных алгебраических уравнений

или ,

основной определитель которой по теореме 2.

Значит, эта система имеет единственное решение , а функция– решение дифференциального уравнения (10.11), удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Таким образом, по определению – общее решение дифференциального уравнения (10.11).

Что и требовалось доказать.