10.4.1. Метод вариации произвольных постоянных

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение (10.11)

.

По теореме 4 его общее решение , где– общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения (10.12),  а– некоторое частное решение (10.11).

По теореме 3 где– ф.с.р. линейного однородного дифференциального уравнения (10.12), а– произвольные постоянные.

Идея метода вариации произвольных постоянных состоит в следующем: будем искать частное решение дифференциального уравнения (10.11) в виде, «похожем» на , именно: , где– некоторые пока неизвестные функции. Подберем эти функции так, чтобыудовлетворяло уравнению (10.11).

Вычислим производные :

.

Пусть . (10.19)

Тогда , откуда.

Подставляя найденные производные в дифференциальное уравнение (10.11), получим:

.

Перегруппируем слагаемые в этом равенстве:

.

Так как – ф.с.р. однородного дифференциального уравнения (10.12), то первые два слагаемые в левой части равны нулю, поэтому

. (10.20)

(10.19) и (10.20) – два уравнения для определения двух неизвестных функций .

Таким образом, если удовлетворяют системе двух дифференциальных уравнений

(10.21)

то – частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (10.11).

Основной определитель системы (10.21) по теореме 2, так как решениялинейно независимы. Следовательно, система (10.21) имеет единственное решение. Проинтегрировав найденные функции, найдеми запишем частное решение.

ЗАМЕЧАНИЕ. Для неоднородного дифференциального уравнения -го порядка,, частное решение находится в виде,

где – ф.с.р. соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения

.

Неизвестные функции являются решением системы дифференциальных уравнений

Рассмотренный метод отыскания частного решения называется методом вариации произвольных постоянных.

ПРИМЕР. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения .

Составим и решим соответствующее однородное дифференциальное  уравнение .

Это уравнение допускает понижение порядка, поэтому сделаем подстановку:

или – общее решение однородного уравнения. В соответствии с теоремой 3 функцииобразуют ф.с.р. этого уравнения.

Будем искать частное решение исходного неоднородного дифференциального уравнения в виде . Для того, чтобы найти неизвестные функции, составим и решим систему (10.21):

Заметим, что, так как в данном случае находится частное решение исходного неоднородного дифференциального уравнения, то достаточно найти некоторые частные решения для каждого из двух уравнений системы (10.21).

Итак, , а– искомое общее решение.

ПРИМЕР. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решим соответствующее однородное дифференциальное уравнение

.

Характеристическое уравнение имеет комплексные корни– ф.с.р., а.

Будем искать частное решение в виде .

Составим систему уравнений (10.21):

Решим последнюю систему методом Крамера (см.гл.1):

Отсюда

,

.

Таким образом,

,

а общим решением данного дифференциального уравнения является функция ,.