12.5. Метод функций Ляпунова

Метод функций Ляпунова позволяет исследовать устойчивость решений систем дифференциальных уравнений с помощью специально построенных функций, так называемых функций Ляпунова, не находя самих решений системы.

Обсудим идею метода.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений (12.1):

.

Пусть эта система имеет тривиальное решение, то есть . Как было показано ранее, все решения системы в смысле устойчивости ведут себя так же, как тривиальное решение.

Пусть – некоторое решение (12.1), которое определяет соответствующую ему траекторию.– расстояние от точек на этой траектории до начала координат. Найдем его полную производную

на траектории до начала координат не увеличивается, то есть все траектории, определяемые частными решениями, близкими к в начальный момент, остаются близкими к началу координат и с ростом. Это по определению означает, что тривиальное решение устойчиво.

Если , то расстояние с ростомувеличивается, следовательно, нулевое решение неустойчиво.

Функция в этих рассуждениях может быть заменена на более удобную в вычислениях функцию.

ПРИМЕР. Исследовать на устойчивость нулевое решение системы дифференциальных уравнений .

Пусть . Найдем производную этой функции вдоль траекторий системы:

.

Таким образом, – невозрастающая функция, то есть точки на произвольной траектории не удаляются от начала координат, поэтому тривиальное решение системы устойчиво, а, значит, устойчивы все решения этой системы.

Отметим, что из неравенства следует, что– монотонная функция. Но точка покоя может быть устойчивой и при немонотонном приближении к ней траекторий, соответствующих произвольным решениям (центр или устойчивый фокус (рис. 13, 14)). Поэтому в качестве функций, с помощью которых исследуется устойчивость, Ляпунов рассмотрел функции, некоторые свойства которых схожи со свойствами расстояния, но сами они расстояниями не являются.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Производной функции в силу системы (12.1) называется полная производная .

Рассмотрим автономную систему

. (12.12)

Будем считать, что для такой системы функция не зависит от времени и ее производная в силу системы (12.12) имеет вид:.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называетсяположительно (отрицательно) определенной в некоторой -окрестности начала координат, если всюду в этой окрестностии только. Положительно или отрицательно определенные функции называютсязнакоопределенными.

Напомним, что -окрестностью начала координат называется множество точек, определяемое неравенством. Если, то это круг радиусас центром в начале координат, если– то шар радиуса.

ПРИМЕРЫ. а) всюду, кроме начала координат, а. Отсюда– положительно определенная функция.

б) ,

причем . Значит, по определению– положительно определенная функция.

в) .

Но , поэтомуположительно определенной функцией не является: она равна нулю не только в начале координат.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называетсянеотрицательной (неположительной) в некоторой -окрестности начала координат, если всюду в этой окрестности, причемне только при. Неотрицательные или неположительные функции называютсязнакопостоянными.

ПРИМЕР. Функция является по определению неотрицательной.

ПРИМЕР. ,.

По определению функция не является ни знакоопределенной, ни знакопостоянной.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называется функцией Ляпунова автономной системы (12.12), если

1. дифференцируема в некоторой окрестности начала координат;

2. положительно определена (отрицательно определена) в этой окрестности;

3. ее производная в силу системы (12.12) всюду в этой окрестности.

Рассмотрим систему (12.12) и будем считать, что она имеет тривиальное решение , то есть.

ТЕОРЕМА (Ляпунова об устойчивости). Пусть существует дифференцируемая функция , знакоопределенная в некоторой окрестности начала координат, производная которой в силу системы (12.12) знакопостоянна в этой окрестности и противоположного сзнака или тождественно равная нулю. Тогда тривиальное решение системы (12.12) устойчиво.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть функция дифференцируема и положительно определена в некоторой-окрестности начала координат, а ее производная в силу системы (12.12)или. Зададим

Пусть – произвольная точка этой-окрестности.

Начальные условия определяют некоторое решение системы (12.12). Соответствующая траектория начинается в точке(рис. 22). При движении вдоль этой траектории функцияне убывает, так как по условиюили, поэтому. Это означает, что траектория не выйдет за пределы-окрестности, так как в противном случае она пересечет границу, на которой.

Таким образом, по определению точка покоя системы (12.12) устойчива.

Что и требовалось доказать.

Вернемся к ранее рассмотренному, но нерешенному примеру (см.стр. 78).

ПРИМЕР. Исследовать на устойчивость нулевое решение системы дифференциальных уравнений .

Как было показано, исследовать на устойчивость по первому приближению нулевое решение этой системы нельзя. Поэтому воспользуемся методом функций Ляпунова.

Будем искать функцию Ляпунова в виде . Найдем ее производную в силу системы:

.

Произведение может принимать значения разных знаков, поэтому подберем параметрыитак, чтобы. Например,. Тогда производная положительно определенной функциив силу данной системы.

По теореме Ляпунова об устойчивости нулевое решение данной системы устойчиво.

ПРИМЕР. Исследовать на устойчивость нулевое решение системы дифференциальных уравнений .

Система первого приближения имеет вид . Легко убедиться, что ее собственные значения чисто мнимые, значит, для исследования устойчивости следует воспользоваться методом функций Ляпунова.

Снова попробуем найти функцию Ляпунова в виде .

.

При , а функцияположительно определена.

Следовательно, по теореме Ляпунова об устойчивости нулевое решение данной системы устойчиво.

ТЕОРЕМА (Ляпунова об асимптотической устойчивости). Пусть в некоторой -окрестности начала координат существует дифференцируемая функция, положительно определенная в этой окрестности, производная в силу системы которой отрицательно определена. Тогда тривиальное решение системы (12.12) асимптотически устойчиво.

Без доказательства.

ПРИМЕР. Вернемся еще раз к системе . Выше для нее была найдена функция Ляпуноваи найдена производная в силу системы, которая является отрицательно определенной функцией. Следовательно, по теореме об асимптотической устойчивости тривиальное решение этой системы асимптотически устойчиво.

ПРИМЕР. Для системы также была найдена функция Ляпунова, производная которой в силу системы. В этом случае сразу утверждать, что точка покоя устойчива, но не асимптотически нельзя, так как сформулированная теорема дает достаточное, но не необходимое условие асимптотической устойчивости. Однако из равенстваследует, что вдоль траекторий, а это означает, что все траектории – эллипсы. Поэтому точка покоя устойчива, но асимптотической устойчивости нет.

ТЕОРЕМА (Лассаля об асимптотической устойчивости в целом). Если существует функция , определенная на всем пространстве и удовлетворяющая условиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости, причемпри, то тривиальное решение системы (12.12) асимптотически устойчиво в целом.

Без доказательства.

ПРИМЕР. Функция Ляпунова при. Как было отмечено выше, она удовлетворяет условиям теоремы об асимптотической устойчивости, поэтому по теореме Лассаля нулевое решение системыасимптотически устойчиво в целом.

ТЕОРЕМА (Четаева о неустойчивости). Пусть для системы (12.12) существует дифференцируемая функция , удовлетворяющая следующим условиям:

1. в любой -окрестности начала координат существует область, во всех внутренних точках которой, причемв тех граничных точках, которые являются внутренними для данной окрестности;

2. начало координат является граничной точкой области;

3. всюду в производная в силу системы.

Тогда нулевое решение системы (12.12) неустойчиво.

Без доказательства.

ПРИМЕР. Исследовать на устойчивость нулевое решение системы дифференциальных уравнений .

Рассмотрим функцию . Убедимся, что она удовлетворяет условиям 1) – 3) теоремы Четаева.

3. Производная в силу данной системы

, если , то естьво всех внутренних точках. Поэтому нулевое решение системы неустойчиво.

ЗАМЕЧАНИЕ. Если в некоторой окрестности начала координат функция и ее производная в силу системыположительно определены, то все условия теоремы Четаева выполнены, следовательно, точка покоя неустойчива.

ЗАМЕЧАНИЕ. Метод функций Ляпунова универсален и эффективен, но, недостаток метода в том, что не существует конструктивного алгоритма построения функции Ляпунова для произвольной системы дифференциальных уравнений. В простейших случаях можно искать функцию Ляпунова в виде и т.д.. Для системы дифференциальных уравнений вида

функция является функцией Ляпунова. Точка покоятакой системы асимптотически устойчива.

ЗАМЕЧАНИЕ. При исследовании устойчивости произвольного решения системы дифференциальных уравнений следует сделать замену переменной, преобразовав исходную систему к системе дифференциальных уравнений, имеющейнулевое решение.

ПРИМЕР. Найти все положения равновесия системы и исследовать их на устойчивость.

Чтобы найти все положения равновесия данной системы, надо найти точки, в которых правые части обоих дифференциальных уравнений одновременно обращаются в нуль:

–положения равновесия, или точки покоя.

1. Исследуем на устойчивость точку .

Пусть , то есть. Подставивв систему дифференциальных уравнений, получим:.

Легко убедиться, что эта система имеет тривиальное решение Чтобы исследовать его на устойчивость, составим систему первого приближения в соответствии с (12.11):. Характеристическое уравнение этой системы:. Так как, то нулевое решение неустойчиво, а, значит, точка– неустойчивое положение равновесия.

2. Исследуем на устойчивость точку .

Аналогично, сделав замену переменных , получим систему дифференциальных уравнений:, для которой система первого приближения имеет вид:. Характеристическое уравнение этой системы:. Все коэффициенты квадратного уравнения положительны, значити точка– положение устойчивого равновесия.