10.2.4. Уравнения бернулли

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением Бернулли, если может быть приведено к виду

, (10.8)

При уравнение (10.8) является линейным, а при– уравнением с разделяющимися переменными.

ПРИМЕРЫ.

а) – уравнение Бернулли (). Это уравнение, кроме того, является однородным дифференциальным уравнением первого порядка;

б) – уравнение Бернулли ();

в) – уравнение Бернулли ().

Уравнения вида (10.8) могут быть решены так же, как и линейные, методом подстановки: будем искать решение в виде . Подставим эту функцию в уравнение:. Тогда функциинайдутся как решение системы дифференциальных уравнений

Сначала решим первое уравнение этой системы, причем – егочастное решение. Подставив во второе уравнение, найдемкакобщее решение этого дифференциального уравнения.

ПРИМЕР. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Пусть .

Отсюда

Интегрируя, получаем , или. Заметим, что при разделении переменных в первом из этих уравнений было потеряно решение, а, значит, и решениеисходного дифференциального уравнения.

Следовательно, общее решение имеет вид .

Отметим, что решение не содержится в решениини при каком значении постоянной.