Алгебра событий

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайного события. Под событием понимается любое явление, которое происходит в результате осуществления определенного комплекса условий и которые можно неоднократно повторять. Осуществление этого комплекса условий называют экспериментом (опытом, испытанием, наблюдением). Таким образом, любое событие в теории вероятностей рассматриваются как исход некоторого эксперимента. Поэтому события часто называют исходами. Например, бросание кубика можно считать испытанием, которое можно неоднократно повторять, а полученный результат – исходом испытания.

Событие называется случайным, если оно при одних и тех же условиях может как произойти, так и не произойти. Случайными будут, например, события: а) при подбрасывании игрального кубика выпадет 6 очков; б) при выстреле в мишень пуля попадет в «десятку»; в) по пути в школу вы встретите черную кошку.

Чтобы говорить о случайности или неслучайности какого-то события, нужно иметь возможность неоднократно наблюдать за ним. Недаром каждый из перечисленных примеров начинается со слов «при …» – то есть, при выполнении определенных условий. Эти условия могут создаваться специально или возникать в окружающей нас жизни.

Случайным экспериментом называют комплекс действий или условий, которые можно многократно повторять, а исход, к которому они приводят, заранее непредсказуем. С примерами случайных экспериментов вы, наверняка, сталкивались и раньше: а) подбрасывание монеты или игрального кубика; б) проведение лотереи; в) стрельба по мишени; г) подъем уровня воды во время весеннего половодья. Последний пример показывает, что случайные эксперименты может совершать и сама природа – в этом случае нам остается лишь наблюдать за их исходами.

Остановимся еще раз на двух важнейших свойствах случайного опыта - непредсказуемости и повторяемости.

Первым важным свойством случайного опыта является его непредсказуемость. Мы не можем заранее предсказать на какую сторону упадет подброшенная вверх монета или кубик; в какую точку мишени попадет пуля.

Вторым важным свойством случайного опыта является его повторяемость: мы (или природа) можем повторять опыт неограниченное число раз в одних и тех же (или очень близких) условиях.

Теория вероятностей не изучает уникальные эксперименты, которые нельзя повторить многократно, даже если их исходы непредсказуемы.

События будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C и т.д.

Событие называется невозможными, если при проведении данного случайного эксперимента никогда не происходит. Например, события: а) при подбрасывании игрального кубика выпадет 7 очков; б) при подбрасывании трех монет число орлов окажется равно числу решек, являются, очевидно, невозможными.

Событие называется достоверным, если при проведении данного случайного эксперимента оно обязательно произойдет. Например, события: а) при подбрасывании игрального кубика выпадет меньше 7 очков; б) при подбрасывании трех монет число орлов окажется не равно числу решек, являются, очевидно, достоверными.

События A и B называются несовместными, если наступление одного из них исключает возможность появления другого. Например, при подбрасывании монеты могут наступить два события: выпадет «орел» или «решка». Однако, одновременно эти события, при одном подбрасывании, появится не могут. Если в результате испытания возможно одновременное появление событий A и B, то такие события называются совместными. Например, выпадение чётного числа очков при подбрасывании игральной кости (событие А) и числа очков, кратного трем (событие В) будут совместными, ибо выпадение шести очков означает наступление и события А, и события В.

Возможными исходами случайного эксперимента называются все взаимоисключающие друг друга варианты, одним из которых он должен завершиться. В результате эксперимента всегда происходит один и только один из его исходов. То есть, с одной стороны, в одном эксперименте не могут произойти сразу два исхода, с другой - эксперимент не может завершиться вообще без всякого исхода. Исходы эксперимента называют элементарными, если их нельзя поделить на более простые. Элементарные исходы в теории вероятностей называют еще элементарными событиями.

Заметим, что число возможных исходов случайного опыта может быть любым – от двух до бесконечности. Например, опыт с монетой имеет всего два возможных исхода (орел и решка), а опыт с кубиком – шесть. Но далеко не во всех случаях все возможные исходы опыта столь очевидны.

Из коробки с одним белым и двумя черными шарами вытаскивают наугад один шар. Сколько возможных исходов у этого опыта? Можно сказать два: шар окажется либо белым, либо черным. А можно сказать три: белый, черный-1, черный-2. И то, и другое правильно, просто во втором случае исходы выбраны более элементарными, а сам опыт описывается ими более детально.

Любое неэлементарное событие может наступить при различных исходах опыта. Все такие исходы называют благоприятными для этого события. Благоприятные они в том смысле, что приводят к его наступлению. Например, для случайного события «На кубике выпадет четное число очков» благоприятными исходами будут 2, 4 и 6.

Если обозначить множество всех возможных исходов опыта большой греческой буквой (читается омега), то каждый исход можно рассматривать какэлемент этого множества , а любое случайное событиеA – как его подмножество , состоящее из благоприятных для него исходов.

При этом невозможное и достоверное события получаются как два частных случая таких подмножеств: невозможному событию соответствует пустое множество исходов ; достоверному событию соответствует множество всех исходов опыта.

Итак, для любого случайного события A все исходы эксперимента делятся на два множества: благоприятные для этого события и все остальные, которые можно назвать неблагоприятными для него. Если рассматривать событие A как подмножество в множестве всех возможных исходов, то оно будет состоять из благоприятных исходов.

Например, выниманию из колоды одной карты можно поставить в соответствие множество элементарных событий (карт)  с 36 исходами. Тогда событию B={вынут туз} соответствует подмножество B={туз пик, туз крести, туз буби, туз червы}.

Пример 14.1. Пусть эксперимент состоит в подбрасывании один раз игральной кости. Обозначим через X число выпавших очков. Построить пространство элементарных событий  и указать состав подмножеств, соответствующих следующим событиям: A={X кратно3}, B={X – нечетно}, C={X < 7}, D={X > 7}.

Решение. Очевидно, что за элементарные события здесь лучше всего взять события: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, которые образуют полную группу несовместных событий. При помощи этих элементарных событий можно легко описать все перечисленные в задаче события:

A={3;6}, B={1;3;5}, C=, D=.

Над событиями можно совершать те же самые операции, что и для множеств. В частности:

Произведением AB событий A и B называют событие, которое происходит тогда и только тогда, когда имеют место оба события A и B одновременно. Например, событие C={вынут туз черви} является произведением событий A и B, где A={вынута карта червонной масти}, а B={вынут туз}.

Суммой A+B событий A и B называют событие, которое происходит только тогда, когда имеет место либо событие A, либо событие B, либо оба вместе.

Разность A–B событий A и B называют событие, которое происходит только тогда, когда имеет место событие A, но не имеет место событие B.

Событие называетсяпротивоположным к событию, если оно происходит тогда и только тогда, когда не происходит. Другими словами, противоположное событие состоит из тех элементарных исходов множества, при которых событиене происходит, т.е. .

Действия над событиями становятся более наглядными, если придать им геометрическую интерпретацию в виде диаграмм Эйлера-Венна:

Пример 14.2. Эксперимент состоит в подбрасывании двух игральных костей. Обозначим через X сумму очков, выпадавших на обеих костях. Описать следующие события A+B, AB, A–B, B–A, если A={X кратно трем}={3;6;9;12}и B={X нечетно}={3;5;7;9;11}. Тогда

A+B={3;5;6;7;9;11;12},	A–B={6;12},
AB={3;9},	B–A={5;7;11}.

Пример 14.3. Пусть имеется колода карт, из которой вынимается одна карта. Описать события AB, ,A+B, A–B, , еслиA={вынутая карта – туз}, B={вынутая карта – черви}.

Ответ:

AB = {вынутая карта – червовый туз},

= {вынутая карта – червовая, но не туз},

A+B = {вынутая карта – либо туз, либо черви},

A–B = {вынутая карта –туз, но не черви},

= {вынутая карта – не туз и не черви}.

Используя операции над событиями, можно описывать более сложные события. Например, пусть A, B, C – три события, наблюдаемые в некотором эксперименте. Используя алгебру событий, опишем событие, произошло только событие А. Это означает, произошло событие A, но события B и С не произошли. Это можно записать следующим образом

.

Аналогично, можно описать события: произошло только одно событие, не важно какое или: произошло хотя бы одно событие. Все это можно коротко записать так

, .

Пример 14.4. Пусть ёлочная гирлянда имеет следующий вид

Опишите событие, что: а) цепь будет работать (т.е. загорится хотя бы одна лампочка), б) имеется разрыв цепи (т.е. ни одна лампочка не загорится).

Ответ: а) Для того чтобы цепь работала, нужно чтобы работала лампочка А и (операция умножения) верхняя или нижняя ветка гирлянды (операция сложения). Верхняя ветка будет работать, если будут работать и лампочка B, и лампочка C (операция умножения). Используя алгебру событий всё это можно записать в виде формулы:

.

б) Для того чтобы цепь не работала, нужно чтобы не работала лампочка А или (операция сложения) верхняя и нижняя ветка гирлянды (операция умножения). Верхняя ветка не будет работать, если не будут работать или лампочка B, или лампочка C (операция сложения). Используя алгебру событий всё это можно записать в виде формулы (для обозначения, что лампочка не работаем мы будем использовать символ противоположного события):

.

Упражнения

14.1. Имеется колода карт. Вынимается одна карта. Опишите события иеслиA={карта пиковой масти}, B={карта – дама}.

Ответ: ={вынутая карта – либо не пики, либо не дама}, ={вынутая карта – либо не пики, либо дама}.

14.2. В урне находится 12 шаров. Все они пронумерованы от 1 до 12. Опишите событие и(A–B)+(B–A), если A={шар с номером кратным 3}, B={шар с номером меньше 5}.

Ответ: ={5, 7, 8, 10, 11}, (A–B)+(B–A)={6, 9, 12, 1, 2, 4}.

14.3. В урне находится 12 шаров. Все они пронумерованы от 1 до 12. Опишите событие и, еслиА={шар, с номером кратным 4}, B={шар, с номером не меньше 6}.

Ответ: ={8, 12, 1, 2, 3, 5}, ={8, 12}.

14.4. Имеется электрическая цепь. Опишите, что: а) цепь будет работать, б) имеется разрыв цепи.

1)2).

Ответ: 1) ,;

2) ,.

14.5. Имеется электрическая цепь. Опишите, что: а) цепь будет работать, б) имеется разрыв цепи.

1)2).

Ответ: 1) ,;

2) ,.