Вероятность случайных событий

Чтобы охарактеризовать вероятность события числом, нужно установить единицу измерения вероятности. Здесь поступают следующим образом: достоверному событию приписывают вероятность, равную единице; невозможному – равную нулю. Таким образом, вероятность P(A) события А должна удовлетворять следующим условиям:

1) P(A)=1, если А – достоверное событие;

2) P(A)=0, если А – невозможное событие;

3) 0<P(A)<1, если А – случайное событие.

Существует несколько подходов к нахождению вероятности события: классический, геометрический, статистический, аксиоматический. Мы рассмотрим только классическое и статистическое определения вероятности.

Классическое определение вероятности основано на понятии равновозможности (или равновероятности). Это понятие относится к числу первичных, не подлежащим формальному определению. Оно лишь поясняется рядом простых и доступных примеров. Например, выпадение одной из сторон монеты или одной из граней игральной кости – равновозможные события. Это утверждение опирается на повседневную практику и симметрию изучаемого объекта. Симметрия возможных исходов чаще всего наблюдается в искусственно организованных опытах, где приняты специальные меры для ее обеспечения (например, тасовка карт или костей домино, которая для того и производится, чтобы каждая из них могла быть выбрана с одинаковой вероятностью; или же приемы случайного выбора группы изделий для контроля качества в производственной практике). В таких опытах подсчет вероятностей производится проще всего. Не случайно первоначальное свое развитие теория вероятностей получила на материале азартных игр.

Говорят, что несколько событий образуют полную группу, если в результате опыта неизбежно должно появиться хотя бы одно из них. Примеры событий, образующих полную группу: 1) появление «1», «2», «3», «4», «5», «6» очков при бросании игральной кости; 2) «два попадания», «два промаха», «одно попадание» при двух выстрелах по мишени; 3) «появление хотя бы одного белого», «появление хотя бы одного черного» шара при вынимании двух шаров из урны. Несовместные события, образующие полную группу, называются элементарными событиями (или элементарными исходами). Отметим, что события первого и второго примеров являются элементарными, а третьего – нет, т.к. они совместны.

Элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, называются благоприятствующими этому событию. Например, при бросании одной игральной кости для события, состоящего в том, что выпадет не более двух очков, благоприятствующими элементарными исходами будут выпадение «1» или «2» очков.

Классическое определение вероятности: вероятностью события А называется отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу:

(15.1)

При вычислении вероятностей по классической схеме приходится решать фактически комбинаторные задачи. При решении конкретной комбинаторной задачи нужно вначале выяснить, каким способом вы будете ее решать, либо непосредственным применением принципов умножения и сложения, либо применением комбинаторных формул, но перед этим нужно выяснить какой вид комбинации имеется в задаче, важен ли в ней порядок или нет, допускаются повторения или нет.

Пример 15.1. В колоде 36 карт. Какова вероятность вынуть: а) туза; б) туза пик; в) тузы красного цвета; г) любую карту, кроме туза.

Решение. Найдем общее число возможных исходов. Поскольку вынимается только одна карта, то число всевозможных исходов будет n=36. Найдем число благоприятствующих исходов для каждого случая. а) В колоде всего четыре туза, следовательно, m₁=4. Тогда

.

б) Имеется всего один пиковый туз, т.е. m₂=1 и

.

в) Тузов красного цвета в колоде два (черви и бубни), т.е. m₃=2 и

.

г) Карт, отличающихся от туза, в колоде всего m₄=32. Следовательно, искомая вероятность будет равна

.

Пример 15.2. На школьной вечеринке разыгрывается 100 билетов, из них 25 – выигрышных. Главный приз – компьютер – 1, игровых приставок – 5 и остальные призы поощрительные – шариковые ручки. Какова вероятность того, что владелец одного билета: а) выиграет главный приз; б) выиграет ценный приз; в) хоть что-нибудь выиграет; г) выбросит деньги на ветер?

Решение. Очевидно, что общее исходов n=100. Рассмотрим каждую из ситуаций отдельно. а) Благоприятствующих исходов выиграть компьютер только один: m₁=1. Поэтому вероятность выиграть компьютер будет

.

б) Для второго случая , т.е. вероятность выиграть ценный приз

.

в) Всего выигрышных билетов m₃=25, следовательно, вероятность хоть что-нибудь выиграть равна

.

8) Поскольку проигрышных билетов m₄=75, то вероятность выбросить деньги на ветер, т.е. ничего не выиграть, равна

.

Пример 15.3. В урне содержатся 3 синих, 5 красных и 2 белых шара. Из нее наудачу извлекаются сразу два шара. Найти вероятность того, что будут вынуты либо два белых шара, либо два разных цветных (синий и красный) шара.

Решение. Поскольку в данной задаче неважен порядок, то для решения будем применять сочетания без повторения (шары не возвращаются обратно в урну). Найдем общее число возможных исходов:

Теперь найдем число благоприятствующих возможных исходов. Два белых шара можно вынуть m₁=C₂²=1 способом, два разных цветных шара m₂=C₃¹C₅¹=35=15 способами. Тогда общее число благоприятствующих исходов, в соответствии с принципом сложения, равно m = m₁+m₂ = 16. Таким образом,

Пример 15.4. Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Какова вероятность, что в нем все цифры разные?

Решение. Предположим, что равновозможны появления любой из 10 цифр во всех позициях телефонного номера. Поскольку при составлении пятизначным номеров важен порядок и возможны повторения, то общее число возможных пятизначных номеров будет равно

Номера, у которых все цифры разные, – это размещения без повторений

Таким образом, искомая вероятность (при сделанном предположении) будет равна

Упражнения

15.1. Зенитная батарея, состоящая из 3 орудий, производит залп по группе, состоящей из 4 самолётов. Каждое из орудий выбирает себе цель наудачу независимо от остальных. Найти вероятность того, что все орудия выстрелят: а) по разным самолётам; б) по одному и тому же самолёту.

Решение: В данной задаче важен порядок, т.е. различается, какое орудие и по какому самолету выстрелило. Следовательно, в данной задаче мы имеем дело с размещениями. Поскольку орудия могут выстрелить по одному и тому же самолету, то общее число возможных исходов будет равно числу размещений с повторениями .

а) Если все орудия выстрелят по разным самолетам, то будем иметь дело с размещениями без повторений. Тогда число благоприятствующих исходов будет равно . Таким образом,.

б) Если все орудия выстрелят по одному и тому же самолету, то число благоприятствующих исходов будет равно . Таким образом,.

15.2. Собрание, на котором присутствуют 20 человек, в том числе 8 женщин, выбирают делегацию из 5 человек. Найти вероятность того, что в делегацию войдут 3 женщины, считая, что каждый из присутствующих может быть избран с одинаковой вероятностью?

Ответ: .

15.3. Для уменьшения общего количества игр 10 команд случайным образом разбиты на две равные подгруппы. Определить вероятность того, что две наиболее сильные команды окажутся в одной подгруппе.

Решение: В данной задаче порядок неважен, т.е. не принимается во внимание порядок отбора команд в группу. Следовательно, в данной задаче мы имеем дело с сочетаниями. Для того чтобы разбить 10 на две равные подгруппы достаточно выбрать 5 команд, которые и образуют одну из подгрупп, тогда остальные образуют другую подгруппу. Таким образом, общее число разбиений команд на две равные подгруппы будет равно . Для того, чтобы разбить команды на две подгруппы с указанными условиями, можно поступить следующим образом. Либо выбрать две наиболее сильные команды (это можно сделать способами), а затем добавить к ним 3 оставшиеся команды из оставшихся 8 не самых сильных команд (способов). Либо выбрать сразу 5 команд из 8 не самых сильных команд (способов). Тогда число благоприятствующих исходов будет равно. Таким образом,.

15.4. Шесть различных книг случайных образом расставляют на полке. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся рядом.

Ответ: .

15.5. 10 вариантов контрольной работы распределены среди 6 студентов. Найти вероятность того, что варианты с номерами 1, 2 и 3 не будут использованы.

Ответ: .

15.6. В первой урне находятся 5 белых и 3 черных шара, во второй – 4 белых и 6 черных шаров. Из каждой урны случайным образом вынули по одному шару. Найти вероятность того, что оба шара будут разного цвета.

Ответ: .

15.7. В урне 4 белых и 5 черных шаров. Из урны взяли три шара. Какова вероятность того, что шары будут одного цвета?

Ответ: .

При различных подходах к вероятности, величина P(A) может трактоваться по-разному. На практике часто используются статистическое определение вероятности, т.е. под вероятностью события A понимается величина

, (15.2)

где под n понимается количество наблюдений результатов эксперимента, в которых событие A встречалось ровно m раз (конечно, число наблюдений n должно быть достаточно большим).

Пример 15.3. Аналитик по инвестициям собирает данные об акциях и отмечает, выплачивались ли по ним дивиденды и увеличивались или нет акции в цене за интересующий его период времени. Собранные данные были представлены в виде таблицы:

Если акция выбрана случайно из набора в 246 акций, то чему равна вероятность того, что: а) она из числа тех акций, которые увеличились в цене; б) по ней выплачены дивиденды; в) по ней не выплачены дивиденды, и она не выросла в цене.

Решение. Используя статистическое определение вероятности, легко получаем:

Упражнения

15.8. Статья в журнале «Business Week» обсуждает проблему заработной платы руководителей крупных корпораций. Следующая таблица составлена из данных этой статьи и содержит данные по ряду фирм, в которых руководители имели годовой доход свыше 1 млн. дол. и меньше 1 млн. дол. Таблица составлена в соответствии с тем, получали или нет владельцы акций этих корпораций годовой доход за обсуждаемый период времени.

а) Если фирма выбрана случайным образом, чему равна вероятность того, что её руководитель имеет годовой доход свыше 1 млн. дол.?

б) Если фирма выбрана случайно, чему равна вероятность того, что держатели её акций получили годовой доход?

в) Зная, что некоторая фирма не выплатила дивиденды, чему равна вероятность того, что её руководитель имеет годовой доход свыше 1 млн. дол.?

г) Зная, что руководитель одной из фирм получает свыше 1 млн. дол. годового дохода, чему равна вероятность получения дивидендов держателями акций этой фирмы?

Ответ. а) 0,3; б) 0,7; в) 2/3; г) 1/3.