2.8. Теорема Дезарга.

Опр.2.8.1. Трехвершинником на плоскости (; ¯ называется фигура, которая состоит из трех точек, которые не лежат на одной прямой, и трех прямых, которые проходят через эти точки. Точки называются вершинами, а прямые – сторонами трехвершинника.

Пусть ABC и A B C  – два трехвершинника. Будем называть соответственными вершины A и A , B и B , C и C , а также стороны a = BC и a = B C , b = AC и b = A C  , c = AB и c = A B .

Теорема Дезарга. Если соответственные стороны трехвершинников ABC и A B C  пересекаются в точках M, N, P, лежащих на одной прямой, то прямые, соединяющие соответственные вершины, сходятся в одной точке.

Обратная теорема Дезарга. Если прямые, соединяющие соответственные вершины трехвершинников ABC и A B C , сходятся в одной

т очке, то соответственные стороны этих трехвершинников пересекаются в точках, лежащих на одной прямой.

Э

Рис. 2.1

Пусть прямые AA , BB , CC  имеют общую точку S . Пусть M = a  a, N = b  b, P = c  c. Необходимо доказать, что M, N, P лежат на одной прямой. Для этого выберем на плоскости (; ¯ проективную систему координат, и запишем координаты точек A(a_i ), B(b_i ), C(c_i ), A(a_i ), B (b_i ), C (c_i ), S(s_i ), i =1, 2, 3. Поскольку S лежит на AA , BB , CC , то

s_i = a_i + a_i , s_i =  b_i + b_i , s_i =  c_i + c_i , i =1, 2, 3. 

a_i –  b_i = b_i – a_i = p_i ,

  b_i –  c_i = c_i – a_i = m_i ,

 c_i –  a_i = a_i – c_i = n_i , i =1, 2, 3,

г де p_i , m_i , n_i – координаты точек P, M, N . Сложив эти равенства, получим p_i + m_i + n_i = 0. Это значит, что P, M, N лежат на одной прямой s.