§2. Проективные координаты.
1. Что такое несобственные точки и для чего они нужны?
2. Что такое несобственная прямая, несобственная плоскость?
3. Что такое проективная прямая, плоскость, пространство?
4. Задать и обозначить 4 несобственных точки. Можно ли эти же точки задать другим образом?
5. Доказать свойства 1 – 9 (пo 1.3).
6. Что понимается под равноправностью собственных и несобственных точек или параллельных и пересекающихся прямых в расширенном пространстве?
7. Переформулируйте свойства 1-9 (пo 1.3), пользуясь термином «инцидентны».
8. Сформулируйте утверждения двойственные свойствам 1-9 согласно малому и большому принципу двойственности, и проверьте, верны ли они.
9. Какие свойства из 1-9 двойственны друг другу?
10. Что такое трехвершинник? Какая фигура ему двойственна?
11. Какие фигуры будут двойственны следующим фигурам:
а) прямая и все точки на ней;
б) две прямые и точка, которая им не принадлежит (рассмотреть различные случаи: прямые в одной плоскости или нет, точка в той же плоскости или нет;
в) четыре точки и все прямые, которые проходят через две из них (рассмотреть различные случаи: все точки лежат на одной прямой, три точки лежат на одной прямой или никакие три из этих точек не лежат на одной прямой).
- Методические рекомендации
- Введение
- §1. Проективная прямая, плоскость, пространство.
- 1.1. Расширенная прямая.
- 1.2. Расширенные плоскость и пространство.
- 1.3. Свойства расширенных плоскости и пространства.
- 1.4. Принцип двойственности на проективной плоскости.
- Вопросы и упражнения.
- §2. Проективные координаты.
- 2.1. Проективные координаты на проективной прямой.
- 2.2. Однородные аффинные координаты на плоскости.
- 2.3. Проективные координаты на проективной плоскости.
- 2.4. Связь между проективными координатами на плоскости и на прямой.
- 2.5. Однородные аффинные координаты на плоскости, как частный случай проективных координат.
- 2.6. Формулы замены проективных координат на плоскости.
- 2.7. Уравнение прямой на плоскости.
- 2.8. Теорема Дезарга.
- Вопросы и упражнения.
- §3. Проективные преобразования плоскости.
- 3.1. Определение проективного преобразования.
- 3.2. Формулы проективного преобразования.
- 3.3. Основное свойство проективных преобразований.
- 3.4. Гомология.
- 3.5. Проективная группа плоскости.
- Вопросы и упражнения.
- §4. Сложное отношение.
- 4 .1. Определения и свойства.
- 4.2. Формулы сложных отношений.
- 4.3. Гармоническая четверка точек.
- Вопросы и упражнения.
- §5. Кривые второго порядка.
- 5.1. Определение и типы кривых второго порядка.
- 5.2. Пересечение кривой второго порядка с прямой.
- 5.3. Касательная к кривой второго порядка.
- 5.4. Полюс и поляра.
- 5.5. Геометрический смысл поляры.
- 5.6. Принцип взаимности поляр.
- 5.7. Полярное соответствие.
- 5.8. Теоремы Паскаля и Брианшона.
- Вопросы и упражнения.
- Литература.
- §1. Проективная прямая, плоскость, пространство. 4
- §2. Проективные координаты. 11
- §3. Проективные преобразования плоскости. 24
- §4. Сложное отношение. 29
- §5. Кривые второго порядка. 36
- Учебное издание
- Проективная геометрия
- 210038, Г.Витебск, Московский проспект, 33.