logo
ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

3.2. Формулы проективного преобразования.

Пусть f : (; ¯  (; ¯ – проективное преобразование, которое задается двумя реперами R и R  , а С – матрица перехода от первого репера ко второму. Пусть M = f(M). Найдем связь между координатами M и M  в одном репере, например, в R . Пусть M(x1, x2, x3)R , тогда M  имеет такие же координаты, только относительно R . Пусть M (x1, x2 , x3 )R . Мы видим, что задача сводится к нахождению связи между координатами одной и той же точки M  в разных реперах R и R  , а эта связь задается формулами (2.6.1). Значит,

xi = (;\s\do10(k =1cik xk , i = 1, 2, 3. (3.2.1)

Еще раз подчеркнем, что здесь xk – это координаты точки до преобразования, а xi – координаты образа этой точки.

Замечание. Проективное преобразование точек прямой определяется аналогично, т.е. с помощью двух реперов R = {A1, A2, E}, R = {A1 , A2 , E} на этой прямой и состоит в том, что точка M(x1: x2)R переходит в M ( x1: x2)R . Формулы преобразования имеют вид (3.2.1), где i, k = 1, 2.

Формулы проективных преобразований записываются в матричном виде: X= CX. И каждому проективному преобразованию соответствует своя невырожденная матрица C.