logo
ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2.4. Связь между проективными координатами на плоскости и на прямой.

П усть R = {A1, A2, A3, E} –произвольный проективный репер на плоскости (; ¯ . Спроецируем E из вершины A1 на прямую A2A3; получим точку E1. Проецируя E из A2 на A1A3, получим E2 , а проецируя E из A3 на A1A2, получим E3. На прямых A2A3, A1A3, A1A2 получились проективные реперы R 1={A2, A3,E1},

R 2= {A1, A3, E2}, R 3= {A1, A2, E3}.

Пусть M(; ¯ – произвольная точка. Аналогичным образом получаем точки M1, M2, M3.

Теорема 2.4.1. M(x1, x2, x3)R  { M1(x2, x3)R 1 & M2(x1, x3)R 2 & & M3(x1, x2)R 3}.

Эта теорема позволяет:

1. находить проективные координаты точки на плоскости (; ¯ ;

2. строить точку по ее координатам, не выходя за пределы плоскости.

Для решения первой задачи

а) строим точки E1, M1, E2, M2;

б) находим координаты x1, x2 точки M1 в репере R 1={A2, A3, E1};

в) находим координаты x1 , x3 точки M2 в репере R 2= {A1, A3, E2};

г) координаты x1 , x3 заменяем пропорционально на x1, x3: (x1: x3 = x1 : x3 ).

д) M(x1, x2, x3)R .

Задача 2 решается аналогично.

Пример. В репере R = {A1, A2, A3, E} построить точку M(3:2:1).

Построение.

1) Выбираем репер R = {A1, A2, A3, E};

2) строим реперы R 1={A2, A3, E1} и R 2= {A1, A3, E2} (см. рисунок);

3) в репере R 1 строим точку M1(2:1); для этого

а) выбираем точку O1 A2A3 и проводим прямые O1A2 , O1A3 , O1E1 ;

б) на прямой O1E1 откладываем вектор e1;\s\up8(( от точки O1;

в) раскладываем e1;\s\up8(( на составляющие, параллельные O1A2 и O1A3 :

e1;\s\up8(( = a2;\s\up8(( + a3;\s\up8(( и получаем базис {a2;\s\up8(( , a3;\s\up8(( };

г) в этом базисе строим вектор x;\s\up8(((2, 1) (т.е. x;\s\up8(( = 2a2;\s\up8(( + a3;\s\up8(( ), отложенный от точки O1;

д) проводим прямую l1 x;\s\up8(( через точку O1; тогда M1= l1 A2A3 ;

4) в репере R 2= {A1, A3, E2} аналогично пункту 3) строим точку M2(3:1);

5) M = A1M1 A2M2 – искомая точка.

Можно также воспользоваться репером R 3= {A1, A2, E3} и построить в нем точку M2(3: 2); и тогда M = A1M1 A3M3 или M = A2M2 A3M3.

Упражнение. Самостоятельно проделайте эти построения и убедитесь, что результат построения точки M будет один и тот же.