ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

1.3. Свойства расширенных плоскости и пространства.

Многие свойства принадлежности точек, прямых и плоскостей обычного евклидова пространства остаются и у расширенного пространства.

Например.

1 . Через две различные точки проходит, и притом, единственная прямая.

2. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, которая проходит через эту точку.

3. Если две различные прямые и меют общую точку, то через них можно провести плоскость, и при этом, только одну.

4 . Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом, только одну.

5 . Если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

6. Через три точки, которые не лежат на одной прямой, можно провести плоскость и, притом, только одну.

Для доказательства, например, свойства 1 необходимо рассмотреть 3 возможных случая: а) данные точки собственные; б) одна точка собствен-ная, а вторая – несобственная; в) обе точки несобственные.

В случае а) имеем совпадение с аналогичным свойством в обычном пространстве. В случае б) искомая прямая проходит через собственную точку параллельно прямой, которая задает несобственную точку. В случае в) искомая прямая – несобственная, которая задается плоскостью, проходящей через те прямые, которые задают данные несобственные точки или любой параллельной ей плоскостью.

Однако принадлежность точек, прямых и плоскостей в расширенном пространстве обладает и некоторыми новыми свойствами. Например:

7. Любые две различные прямые, лежащие в одной плоскости, имеют общую точку и, притом, только одну.

8. Любая плоскость и прямая, которая не лежит в этой плоскости, имеют общую точку и, притом, только одну.

9 . Любые две различные плоскости имеют общую прямую и, притом, только одну.

а)

ля доказательства, например, свойства 8 необходимо рассмотреть следующие возможные случаи:

б)

) плоскость и прямая собственные, и прямая не параллельна плоскости; тогда имеем обычную точку пересечения.

в)

) плоскость и прямая собственные, и прямая параллельна плоскости;

в) плоскость несобственная, а прямая собственная; в обоих случаях б) и в) общей является несобственная точка прямой.

г)

) плоскость  собственная, а прямая a_несобственная; тогда a_задается плоскостью  и общей точкой a_и  будет несобственная точка C_прямой c=.

Случай, когда плоскость и прямая несобственные, не удовлетворяет условию, так как прямая принадлежит плоскости.

Нетрудно заметить, что собственные и несобственные точки в проективном пространстве равноправны: все их свойства одинаковы, а при центральном проецировании собственная точка может перейти в несобственную, и наоборот. В том же смысле равноправны параллельные и пересекающиеся прямые в проективном пространстве.

Содержание