2.6. Формулы замены проективных координат на плоскости.

Рассмотрим на плоскости (; ¯ два проективных репера R = {A₁, A₂, A₃, E} и R = {A₁ , A₂ , A₃ , E}. Пусть M(; ¯ – произвольная точка, и M(x₁, x₂, x₃)_R , M(x₁, x₂ , x₃ )_{R } . Будем писать коротко: M(x_i )_R , M(x_i )_{R } . Согласно определению 2.3.4., x_i – это координаты некоторого вектора x;\s\up8(( на прямой OM в некотором базисе B = {a1;\s\up8(( , a2;\s\up8(( , a3;\s\up8(( }, а x_i – это координаты некоторого вектора x(;\s\up8(( на той же прямой OM в другом базисе B  ={a1(;\s\up8(( , a2(;\s\up8(( , a3(;\s\up8(( }. Поскольку векторы x;\s\up8(( и x(;\s\up8(( должны быть коллинеарны, то x(;\s\up8(( = x;\s\up8(( и x(;\s\up8(( (x_i)_B .

Разложим векторы базиса B  по базису B : ai(;\s\up8(–( =(;\s\do10(k=1c_kiak;\s\up8(–( . Тогда матрица C = [c_ik], i, k = 1, 2, 3 называется матрицей перехода от базиса B к базису B  . Как известно, det C  0 и координаты x_i и x_i вектора x(;\s\up8(( в различных базисах связаны формулами:

x_i = (;\s\do10(k =1c_ik x_{k . (2.6.1)}

эти же формулы показывают связь проективных координат x_i и x_i одной и той же точки в разных реперах на плоскости. В частности, поскольку в репере R  A₁ (1, 0, 0), A₂ (0,1, 0), A₃ (0, 0, 1), E(1, 1, 1), то в репере R :

A₁ (c₁₁, c₂₁, c₃₁), A₂ (c₁₂, c₂₂, c₃₂), A₃ (c₁₃, c₂₃, c₃₃),

E(c₁₁₊c₁₂₊c₁₃, c₂₁₊c₂₂₊c₂₃, c₃₁₊c₃₂₊c₃₃).

Замечание 1. Формулы (2.6.1) имеют место и для преобразования координат точек на прямой, при условии, что индексы i, k принимают значения 1, 2.

Замечание 2. Если обозначить X и X – столбцы составленные из координат векторов x;\s\up8(–( и x(;\s\up8(–( , то формулы (2.6.1) можно переписать в виде одного матричного равенства: X = CX (2.6.1).