Теория потенциалов, определение, основные свойства.
Пусть в точке расположен заряд величины , тогда в любой точке пространства будет создаваться поле, потенциал которого: . Для системы зарядов, потенциал имеет вид: .
| Диполь: Пусть в точках и расположены заряды, величиной –e и +e. - момент диполя, будем сближать точки и , сохраняя величину (увеличивая e), то в пределе при получим точечный диполь, расположенный в точке Q, потенциал которого равен: . |
Рассмотрим интеграл: , - интегрируема (непрерывна) везде, кроме , если . Рассмотрим его сходимость и непрерывность.
Определение: будем говорить, что это интеграл сходиться равномерно в окрестности точки , если для любого существует такое , ( ), что для любой точки , ( - окрестность т. , ) выполняется : .
Теорема: если сходится равномерно в окрестности точки , то существует и непрерывна в точке .
Доказательство: разобьём на 2 функции: , рассмотрим разность: (она мала, если и близки).
Докажем более подробно. Поскольку сходится в окрестности , то берём и выбираем такое , что и , тогда выполняется и . Так как , то интеграл не является не собственным, и непрерывна в точке . Значит, для того же существует такое , что выполняется . Пусть , тогда выполняется , и , а следовательно и .
Чтд.
Замечание: из равномерной сходимости следует сходимость интеграла.
При определении интеграла предполагалось, что промежуток интегрирования конечен и подынтегральная функция определена и непрерывна на этом промежутке. Такой интеграл называется собственным. Если нарушается хотя бы одно из этих условий, то интеграл называется несобственным.
- Оглавление
- Уравнение Лапласа и Пуассона.
- Физический смысл стационарной задачи
- Примеры
- Понятие о потенциалах
- Постановка задач
- Первая и вторая формулы Грина с оператором , следствия.
- Гармонические функции. Интегральное представление. Их основные свойства.
- Примеры
- Свойства гармонических функций.
- Теорема о среднем для гармонических функций
- Теорема о максимумах и минимумах для гармонических функций. Единственность и корректность задач Дирихле.
- Следствия:
- Функция Грина для краевой задачи с уравнением Пуассона. Её построение методом отображений.
- Функция Грина для задачи с уравнением , понятия, определения.
- Решение задач с её помощью
- Построение функции Грина в одномерном случае на отрезке
- Теория потенциалов, определение, основные свойства.
- Объёмный потенциал
- Потенциал простого слоя
- Потенциал двойного слоя
- Решение задач Дирихле с уравнением Пуассона методом теории потенциалов
- Сводная таблица6 общие сведения о потенциалах:
- Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах математической физики, примеры.
- Уравнение с оператором с особенностью , свойства, ограниченность, постановка задачи.
- Уравнение Бесселя.
- Особенность, построение ограниченного решения .
- Общее решение, , , , понятие о функциях .
- Асимптотика решений уравнения Бесселя, нули функции Бесселя.
- Краевая задача на собственные значения: , её решение, ортогональность собственных функций, теорема Фурье-Бесселя б/д.
- Модифицированное уравнение Бесселя, ограниченность решения , свойства, общее решение, понятие о функции .
- Сводная таблица.
- Краевая задача с двумя особыми точками на концах отрезка. Граничные условия. Условия самосопряжённости оператора .
- Уравнение гипергеометрического типа.
- Приведение к самосопряжённому виду. Весовые функции . Уравнение для производных(в следующем пункте).
- Решение в виде полиномов. Формула Родрига.
- Ортогональные решения полиномов. Свойства нулей.
- Примеры: уравнения, краевые задачи, определение и свойства полиномов
- Полиномы Лежандра.
- Полиномы Чебышева-Лягера.
- Чебышева-Эрмита.
- Сводная таблица для уравнений гипергеометрического вида.
- Уравнения, краевая задача для присоединенных полином Лежандра. Решения. Основные свойства.
- Уравнение Лапласа в сферических координатах. Схема решения методом разделения переменных.
- Сферические функции, определения, построение системы базисных функций. Ортогональность, полнота, теорема о разложении, б/д.