Объёмный потенциал

Потенциал поля, созданного зарядами, распределёнными в области с плотностью , равен и называется объёмным потенциалом.

Свойство 1. Объёмный потенциал определён и непрерывен всюду.

Если , то интеграл не является не собственным. Поскольку подынтегральная функция, как функция , непрерывна в точке , то непрерывен в этой точке и интеграл .

Если , то, согласно теореме и замечанию, достаточно доказать равномерную сходимость, интеграла в окрестности точки . Для этого оценим интеграл: , мы увеличили область, поместив всё в шар , радиуса . Перейдём в последнем интеграле к сферическим координатам и получим тогда: , чтобы интеграл был меньше заданного , достаточно взять .

Свойство 2. Объёмный потенциал имеет всюду непрерывные частные производные первого порядка по координатам точки .

Если , то интеграл не является не собственным. Поскольку подынтегральная функция, как функция точки , имеет в точке непрерывные частные производные первого порядка по координатам точки , то этим свойством обладает и интеграл , причём производные вычисляются путём дифференцирования под знаком интеграла: , , - (1), где - координаты точки .

Если , то, согласно теореме и замечанию, достаточно доказать равномерную сходимость в окрестностях точки интегралов от производных в правых частях формул. Тогда законно дифференцирование под знаком интеграла, причём для производных , и справедливы формулы (1). Для определённости рассмотрим интеграл: . Оценим его: , т.к. .

Далее, , достаточно взять для того, чтобы выполнялось неравенство .

Свойство 3. Объёмный потенциал является гармонической функцией вне области , в которой расположены заряды (массы). Это свойство следует из того, что для точек интеграл не является не собственным, и поэтому оператор Лапласа можно вносить под знак интеграла:

, т.к. для точек (а точнее P≠Q) имеем .

Свойство 4. в точках области объёмный потенциал удовлетворяет соотношению: , т.к. , .

Вторые производные рвутся.

Свойство 5. При стремлении точки наблюдения к бесконечности объёмный потенциал стремится к нулю ( - огр.).

Применим теорему о среднем: , где - суммарный заряд. Т.о. .

6. Содержание

   • Оглавление
   • Уравнение Лапласа и Пуассона.
   • Физический смысл стационарной задачи
   • Примеры
   • Понятие о потенциалах
   • Постановка задач
   • Первая и вторая формулы Грина с оператором , следствия.
   • Гармонические функции. Интегральное представление. Их основные свойства.
   • Примеры
   • Свойства гармонических функций.
   • Теорема о среднем для гармонических функций
   • Теорема о максимумах и минимумах для гармонических функций. Единственность и корректность задач Дирихле.
   • Следствия:
   • Функция Грина для краевой задачи с уравнением Пуассона. Её построение методом отображений.
   • Функция Грина для задачи с уравнением , понятия, определения.
   • Решение задач с её помощью
   • Построение функции Грина в одномерном случае на отрезке
   • Теория потенциалов, определение, основные свойства.
   • Объёмный потенциал
   • Потенциал простого слоя
   • Потенциал двойного слоя
   • Решение задач Дирихле с уравнением Пуассона методом теории потенциалов
   • Сводная таблица6 общие сведения о потенциалах:
   • Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах математической физики, примеры.
   • Уравнение с оператором с особенностью , свойства, ограниченность, постановка задачи.
   • Уравнение Бесселя.
   • Особенность, построение ограниченного решения .
   • Общее решение, , , , понятие о функциях .
   • Асимптотика решений уравнения Бесселя, нули функции Бесселя.
   • Краевая задача на собственные значения: , её решение, ортогональность собственных функций, теорема Фурье-Бесселя б/д.
   • Модифицированное уравнение Бесселя, ограниченность решения , свойства, общее решение, понятие о функции .
   • Сводная таблица.
   • Краевая задача с двумя особыми точками на концах отрезка. Граничные условия. Условия самосопряжённости оператора .
   • Уравнение гипергеометрического типа.
   • Приведение к самосопряжённому виду. Весовые функции . Уравнение для производных(в следующем пункте).
   • Решение в виде полиномов. Формула Родрига.
   • Ортогональные решения полиномов. Свойства нулей.
   • Примеры: уравнения, краевые задачи, определение и свойства полиномов
   • Полиномы Лежандра.
   • Полиномы Чебышева-Лягера.
   • Чебышева-Эрмита.
   • Сводная таблица для уравнений гипергеометрического вида.
   • Уравнения, краевая задача для присоединенных полином Лежандра. Решения. Основные свойства.
   • Уравнение Лапласа в сферических координатах. Схема решения методом разделения переменных.
   • Сферические функции, определения, построение системы базисных функций. Ортогональность, полнота, теорема о разложении, б/д.