Построение функции Грина в одномерном случае на отрезке
в одномерном случае ( : ) задача (4’) будет иметь вид:
| , её решение – функция Грина: |
Рассмотрим интервал
Выбираем решение уравнения , удовлетворяющее граничному условию при . Этих решений много. Общее решение: , где , - есть функция . Это решение существует везде на отрезке , оно может быть использовано для построения функции Грина.
Рассмотрим интервал .
Пусть тогда - решение уравнения , удовлетворяющее граничному условию при , Этих решений много. Общее решение: , где , - есть функция .
| Склеим эти два куска так, чтобы в точке выполнялось (*). Там есть две производных, и при любом разрыве будет бесконечность. Возьмем окрестность точки размера δ и проинтегрируем левую часть (*): . Интегрируем: , пусть , тогда |
, т.о. т.о. получили уравнение, связывающее две неопределённые константы. Второе уравнение можно получить, приравняв два решения в точке разрыва: . Имеем систему однородных линейных уравнений для нахождения и : , решаем: , где определитель Вронского: , мы можем построить не бесконечную и непрерывную функцию Грина.
Из теории ОДУ знаем, что , докажем: , чтд.
Сделаем эту постоянную выбором и . , и тогда функция Грина:
| . Излом первой производной соответствует -функции. - линейные функции.
|
с) Функция Грина симметрична по своим аргументам G(P,Q) = G(Q,P)
-
Содержание
- Оглавление
- Уравнение Лапласа и Пуассона.
- Физический смысл стационарной задачи
- Примеры
- Понятие о потенциалах
- Постановка задач
- Первая и вторая формулы Грина с оператором , следствия.
- Гармонические функции. Интегральное представление. Их основные свойства.
- Примеры
- Свойства гармонических функций.
- Теорема о среднем для гармонических функций
- Теорема о максимумах и минимумах для гармонических функций. Единственность и корректность задач Дирихле.
- Следствия:
- Функция Грина для краевой задачи с уравнением Пуассона. Её построение методом отображений.
- Функция Грина для задачи с уравнением , понятия, определения.
- Решение задач с её помощью
- Построение функции Грина в одномерном случае на отрезке
- Теория потенциалов, определение, основные свойства.
- Объёмный потенциал
- Потенциал простого слоя
- Потенциал двойного слоя
- Решение задач Дирихле с уравнением Пуассона методом теории потенциалов
- Сводная таблица6 общие сведения о потенциалах:
- Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах математической физики, примеры.
- Уравнение с оператором с особенностью , свойства, ограниченность, постановка задачи.
- Уравнение Бесселя.
- Особенность, построение ограниченного решения .
- Общее решение, , , , понятие о функциях .
- Асимптотика решений уравнения Бесселя, нули функции Бесселя.
- Краевая задача на собственные значения: , её решение, ортогональность собственных функций, теорема Фурье-Бесселя б/д.
- Модифицированное уравнение Бесселя, ограниченность решения , свойства, общее решение, понятие о функции .
- Сводная таблица.
- Краевая задача с двумя особыми точками на концах отрезка. Граничные условия. Условия самосопряжённости оператора .
- Уравнение гипергеометрического типа.
- Приведение к самосопряжённому виду. Весовые функции . Уравнение для производных(в следующем пункте).
- Решение в виде полиномов. Формула Родрига.
- Ортогональные решения полиномов. Свойства нулей.
- Примеры: уравнения, краевые задачи, определение и свойства полиномов
- Полиномы Лежандра.
- Полиномы Чебышева-Лягера.
- Чебышева-Эрмита.
- Сводная таблица для уравнений гипергеометрического вида.
- Уравнения, краевая задача для присоединенных полином Лежандра. Решения. Основные свойства.
- Уравнение Лапласа в сферических координатах. Схема решения методом разделения переменных.
- Сферические функции, определения, построение системы базисных функций. Ортогональность, полнота, теорема о разложении, б/д.