Функция Грина для краевой задачи с уравнением Пуассона. Её построение методом отображений.
(1) Точка р принадлежит области D, ограниченной контуром Г.
Воспользуемся формулой: , мы не знаем, как находится и, соответственно, не можем найти точное решение - избавимся от слагаемого, которое её содержит. Воспользуемся второй формулой Грина для функций и . Из второй формулы Грина следует .
В качестве w выберем любую гармоническую функцию в D, такую что: , то есть мы выбираем её так, чтобы на границе она совпадала с .
Вычитая два этих выражения, получаем: . Пусть , тогда: , - функция Грина задачи Дирихле.
Функция Грина является решением задачи (1), удовлетворяет уравнению: . Проинтегрируем по шару:
| применим теорему Гаусса , т.о. можно определить аксиоматически:
|
Функция Грина задачи , это решение следующей задачи: .
Её физический смысл. Рассмотрим заряд величины в точке р, его потенциал в точке Q: , функция подправляет его так, чтобы на границе он равнялся нулю. Если представить, что этот заряд находиться внутри шара, сделанного из металлической сетки, то можно сказать, что моделирует заземление.
Функция Грина в двухмерном случае: . Мы получили решение задачи (1) через функцию Грина, но саму функцию Грина не нашли, для этого надо решить задачу для , найти . Пусть точка принадлежит области , ограниченной . Ищем виде потенциала: подбираем точки , сажаем в них заряды , так чтобы суммарный потенциал на границе был = 0 – метод электростатических изображений. .
- Оглавление
- Уравнение Лапласа и Пуассона.
- Физический смысл стационарной задачи
- Примеры
- Понятие о потенциалах
- Постановка задач
- Первая и вторая формулы Грина с оператором , следствия.
- Гармонические функции. Интегральное представление. Их основные свойства.
- Примеры
- Свойства гармонических функций.
- Теорема о среднем для гармонических функций
- Теорема о максимумах и минимумах для гармонических функций. Единственность и корректность задач Дирихле.
- Следствия:
- Функция Грина для краевой задачи с уравнением Пуассона. Её построение методом отображений.
- Функция Грина для задачи с уравнением , понятия, определения.
- Решение задач с её помощью
- Построение функции Грина в одномерном случае на отрезке
- Теория потенциалов, определение, основные свойства.
- Объёмный потенциал
- Потенциал простого слоя
- Потенциал двойного слоя
- Решение задач Дирихле с уравнением Пуассона методом теории потенциалов
- Сводная таблица6 общие сведения о потенциалах:
- Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах математической физики, примеры.
- Уравнение с оператором с особенностью , свойства, ограниченность, постановка задачи.
- Уравнение Бесселя.
- Особенность, построение ограниченного решения .
- Общее решение, , , , понятие о функциях .
- Асимптотика решений уравнения Бесселя, нули функции Бесселя.
- Краевая задача на собственные значения: , её решение, ортогональность собственных функций, теорема Фурье-Бесселя б/д.
- Модифицированное уравнение Бесселя, ограниченность решения , свойства, общее решение, понятие о функции .
- Сводная таблица.
- Краевая задача с двумя особыми точками на концах отрезка. Граничные условия. Условия самосопряжённости оператора .
- Уравнение гипергеометрического типа.
- Приведение к самосопряжённому виду. Весовые функции . Уравнение для производных(в следующем пункте).
- Решение в виде полиномов. Формула Родрига.
- Ортогональные решения полиномов. Свойства нулей.
- Примеры: уравнения, краевые задачи, определение и свойства полиномов
- Полиномы Лежандра.
- Полиномы Чебышева-Лягера.
- Чебышева-Эрмита.
- Сводная таблица для уравнений гипергеометрического вида.
- Уравнения, краевая задача для присоединенных полином Лежандра. Решения. Основные свойства.
- Уравнение Лапласа в сферических координатах. Схема решения методом разделения переменных.
- Сферические функции, определения, построение системы базисных функций. Ортогональность, полнота, теорема о разложении, б/д.