Оглавление
Оглавление 1
1. Уравнение Лапласа и Пуассона. 3
a) Физический смысл стационарной задачи 3
b) Примеры 3
c) Понятие о потенциалах 3
d) Постановка задач 3
2. Первая и вторая формулы Грина с оператором, следствия. 4
3. Гармонические функции. Интегральное представление. Их основные свойства. 5
4. Теорема о среднем для гармонических функций 7
5. Теорема о максимумах и минимумах для гармонических функций. Единственность и корректность задач Дирихле. 8
6. Функция Грина для краевой задачи с уравнением Пуассона. Её построение методом отображений. 9
7. Функция Грина для задачи с уравнением , понятия, определения. 10
a) решение задач с её помощью 10
e) Построение функции Грина в одномерном случае на отрезке 10
8. Теория потенциалов, определение, основные свойства. 12
a) Объёмный потенциал 13
f) Потенциал простого слоя 15
g) Потенциал двойного слоя 16
h) Решение задач Дирихле с уравнением Пуассона методом теории потенциалов 17
i) Сводная таблица6 общие сведения о потенциалах: 18
9. Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах математической физики, примеры. 19
10. Уравнение с оператором с особенностью , свойства, ограниченность, постановка задачи. 20
11. Уравнение Бесселя. 21
a) особенность, построение ограниченного решения . 22
j) общее решение, , , , понятие о функциях . 23
k) асимптотика решений уравнения Бесселя, нули функции Бесселя. 24
l) краевая задача на собственные значения: , её решение, ортогональность собственных функций, теорема Фурье-Бесселя б/д. 25
m) модифицированное уравнение Бесселя, ограниченность решения , свойства, общее решение, понятие о функции . 26
n) Сводная таблица. 27
12. Краевая задача с двумя особыми точками на концах отрезка. Граничные условия. Условия самосопряжённости оператора . 28
13. Уравнение гипергеометрического типа. 29
a) Приведение к самосопряжённому виду. Весовые функции . Уравнение для производных(в следующем пункте). 29
o) Решение в виде полиномов. Формула Родрига. 29
p) Ортогональные решения полиномов. Свойства нулей. 30
14. Примеры: уравнения, краевые задачи, определение и свойства полиномов 31
a) Полиномы Лежандра. 31
q) Полиномы Чебышева-Лягера. 32
r) Чебышева-Эрмита. 33
s) Сводная таблица для уравнений гипергеометрического вида. 34
15. Уравнения, краевая задача для присоединенных полином Лежандра. Решения. Основные свойства. 36
16. Уравнение Лапласа в сферических координатах. Схема решения методом разделения переменных. 37
17. Сферические функции, определения, построение системы базисных функций. Ортогональность, полнота, теорема о разложении, б/д. 38
-
Содержание
- Оглавление
- Уравнение Лапласа и Пуассона.
- Физический смысл стационарной задачи
- Примеры
- Понятие о потенциалах
- Постановка задач
- Первая и вторая формулы Грина с оператором , следствия.
- Гармонические функции. Интегральное представление. Их основные свойства.
- Примеры
- Свойства гармонических функций.
- Теорема о среднем для гармонических функций
- Теорема о максимумах и минимумах для гармонических функций. Единственность и корректность задач Дирихле.
- Следствия:
- Функция Грина для краевой задачи с уравнением Пуассона. Её построение методом отображений.
- Функция Грина для задачи с уравнением , понятия, определения.
- Решение задач с её помощью
- Построение функции Грина в одномерном случае на отрезке
- Теория потенциалов, определение, основные свойства.
- Объёмный потенциал
- Потенциал простого слоя
- Потенциал двойного слоя
- Решение задач Дирихле с уравнением Пуассона методом теории потенциалов
- Сводная таблица6 общие сведения о потенциалах:
- Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах математической физики, примеры.
- Уравнение с оператором с особенностью , свойства, ограниченность, постановка задачи.
- Уравнение Бесселя.
- Особенность, построение ограниченного решения .
- Общее решение, , , , понятие о функциях .
- Асимптотика решений уравнения Бесселя, нули функции Бесселя.
- Краевая задача на собственные значения: , её решение, ортогональность собственных функций, теорема Фурье-Бесселя б/д.
- Модифицированное уравнение Бесселя, ограниченность решения , свойства, общее решение, понятие о функции .
- Сводная таблица.
- Краевая задача с двумя особыми точками на концах отрезка. Граничные условия. Условия самосопряжённости оператора .
- Уравнение гипергеометрического типа.
- Приведение к самосопряжённому виду. Весовые функции . Уравнение для производных(в следующем пункте).
- Решение в виде полиномов. Формула Родрига.
- Ортогональные решения полиномов. Свойства нулей.
- Примеры: уравнения, краевые задачи, определение и свойства полиномов
- Полиномы Лежандра.
- Полиномы Чебышева-Лягера.
- Чебышева-Эрмита.
- Сводная таблица для уравнений гипергеометрического вида.
- Уравнения, краевая задача для присоединенных полином Лежандра. Решения. Основные свойства.
- Уравнение Лапласа в сферических координатах. Схема решения методом разделения переменных.
- Сферические функции, определения, построение системы базисных функций. Ортогональность, полнота, теорема о разложении, б/д.