Уравнение Лапласа в сферических координатах. Схема решения методом разделения переменных.
Запишем оператор Лапласа в сферических координатах:
: .
Решим уравнение Лапласа (1) методом разделения переменных. Ищем решение в виде: , подставим: (2) . Запишем задачу для (функции не имеют особенности и определены на сфере).: (3) Задача: найти значения , при которых задача (3) имеет нетривиальное решение. Сферическими функциями называются любые нетривиальные решения задачи (3). Будем решать задачу (3) методом разделения переменных. Пусть , подставляем, домножив на , получаем: , получаем две задачи: и (5) .
Решаем (4). или (тоже самое) , для того чтобы выполнялась периодичность должно быть целым: . Тогда .
Решаем (5). Сделаем замену: , учтем что тогда . Делим (5) на : , получили уравнение для присоединённых полиномов Лежандра. Тогда .
П m
| - полный набор базисных сферических функций. Каждому соответствует и базисных функций.
|
Перейдём к решению задачи для : . Ищем решение в виде: , подставляем: - шаровый функции,
тогда , - решение уравнения Лапласа в сферических координатах.
- Оглавление
- Уравнение Лапласа и Пуассона.
- Физический смысл стационарной задачи
- Примеры
- Понятие о потенциалах
- Постановка задач
- Первая и вторая формулы Грина с оператором , следствия.
- Гармонические функции. Интегральное представление. Их основные свойства.
- Примеры
- Свойства гармонических функций.
- Теорема о среднем для гармонических функций
- Теорема о максимумах и минимумах для гармонических функций. Единственность и корректность задач Дирихле.
- Следствия:
- Функция Грина для краевой задачи с уравнением Пуассона. Её построение методом отображений.
- Функция Грина для задачи с уравнением , понятия, определения.
- Решение задач с её помощью
- Построение функции Грина в одномерном случае на отрезке
- Теория потенциалов, определение, основные свойства.
- Объёмный потенциал
- Потенциал простого слоя
- Потенциал двойного слоя
- Решение задач Дирихле с уравнением Пуассона методом теории потенциалов
- Сводная таблица6 общие сведения о потенциалах:
- Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах математической физики, примеры.
- Уравнение с оператором с особенностью , свойства, ограниченность, постановка задачи.
- Уравнение Бесселя.
- Особенность, построение ограниченного решения .
- Общее решение, , , , понятие о функциях .
- Асимптотика решений уравнения Бесселя, нули функции Бесселя.
- Краевая задача на собственные значения: , её решение, ортогональность собственных функций, теорема Фурье-Бесселя б/д.
- Модифицированное уравнение Бесселя, ограниченность решения , свойства, общее решение, понятие о функции .
- Сводная таблица.
- Краевая задача с двумя особыми точками на концах отрезка. Граничные условия. Условия самосопряжённости оператора .
- Уравнение гипергеометрического типа.
- Приведение к самосопряжённому виду. Весовые функции . Уравнение для производных(в следующем пункте).
- Решение в виде полиномов. Формула Родрига.
- Ортогональные решения полиномов. Свойства нулей.
- Примеры: уравнения, краевые задачи, определение и свойства полиномов
- Полиномы Лежандра.
- Полиномы Чебышева-Лягера.
- Чебышева-Эрмита.
- Сводная таблица для уравнений гипергеометрического вида.
- Уравнения, краевая задача для присоединенных полином Лежандра. Решения. Основные свойства.
- Уравнение Лапласа в сферических координатах. Схема решения методом разделения переменных.
- Сферические функции, определения, построение системы базисных функций. Ортогональность, полнота, теорема о разложении, б/д.