Оглавление
Оглавление 1
1. Уравнение Лапласа и Пуассона. 3
1. Физический смысл стационарной задачи 3
2. Примеры 3
3. Понятие о потенциалах 3
4. Постановка задач 3
2. Первая и вторая формулы Грина с оператором, следствия. 4
3. Гармонические функции. Интегральное представление. Их основные свойства. 6
4. Теорема о среднем для гармонических функций 8
5. Теорема о максимумах и минимумах для гармонических функций. Единственность и корректность задач Дирихле. 9
6. Функция Грина для краевой задачи с уравнением Пуассона. Её построение методом отображений. 10
7. Функция Грина для задачи с уравнением , понятия, определения. 11
a) решение задач с её помощью 11
9. Построение функции Грина в одномерном случае на отрезке 12
8. Теория потенциалов, определение, основные свойства. 14
a) Объёмный потенциал 15
10. Потенциал простого слоя 17
11. Потенциал двойного слоя 18
12. Решение задач Дирихле с уравнением Пуассона методом теории потенциалов 19
13. Сводная таблица6 общие сведения о потенциалах: 20
9. Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах математической физики, примеры. 21
10. Уравнение с оператором с особенностью , свойства, ограниченность, постановка задачи. 22
11. Уравнение Бесселя. 23
a) особенность, построение ограниченного решения . 24
14. общее решение, , , , понятие о функциях . 25
15. асимптотика решений уравнения Бесселя, нули функции Бесселя. 26
16. краевая задача на собственные значения: , её решение, ортогональность собственных функций, теорема Фурье-Бесселя б/д. 28
17. модифицированное уравнение Бесселя, ограниченность решения , свойства, общее решение, понятие о функции . 30
18. Сводная таблица. 31
12. Краевая задача с двумя особыми точками на концах отрезка. Граничные условия. Условия самосопряжённости оператора . 33
13. Уравнение гипергеометрического типа. 34
a) Приведение к самосопряжённому виду. Весовые функции . Уравнение для производных(в следующем пункте). 34
19. Решение в виде полиномов. Формула Родрига. 34
20. Ортогональные решения полиномов. Свойства нулей. 35
14. Примеры: уравнения, краевые задачи, определение и свойства полиномов 37
a) Полиномы Лежандра. 37
21. Полиномы Чебышева-Лягера. 38
22. Чебышева-Эрмита. 39
23. Сводная таблица для уравнений гипергеометрического вида. 40
15. Уравнения, краевая задача для присоединенных полином Лежандра. Решения. Основные свойства. 42
16. Уравнение Лапласа в сферических координатах. Схема решения методом разделения переменных. 43
17. Сферические функции, определения, построение системы базисных функций. Ортогональность, полнота, теорема о разложении, б/д. 45
Уравнение Лапласа и Пуассона.
Уравнение вида: или- называется уравнением Лапласа.
- неоднородное уравнение Лапласа – уравнение Пуассона.
Обобщим эти уравнения: , гдер – некоторая точка трёхмерного пространства.
| Система Коши – Римана: | Функции u(x,y) и v(x,y), удовлетворяющие этой системе, удовлетворяют уравнение Лапласа. Например, такая комплексная функция: , еслианалитическая,то обе части решения удовлетворяют уравнению Лапласа: и
|
Физический смысл стационарной задачи
Уравнение вида: или- называется уравнением Лапласа. Оно описывает стационарный процесс с установившимся распределением температуры сплошной среды. Описывает любые установившиеся процессы. При наличии источников тепла получаем уравнение:- неоднородное уравнение Лапласа – уравнение Пуассона.
Примеры
Уравнение теплопроводности: - описывает распределение температуры в сплошной среде. Если это распределение не зависит от времени, то уравнение теплопроводности примет вид:. Аналогично для колебаний.
Понятие о потенциалах
Заряд в точке Q создаёт поле, которое описывается потенциалом , а этот потенциал,r – расстояние от точки Q до некоторой точки р. Величина удовлетворяет уравнению Лапласа для всех:
.
То же самое можно сказать о потенциале системы зарядов - это есть сумма потенциалов отдельных зарядов.
Постановка задач
Постановка задачи (можно поставить задачу для разного числа переменных) состоит из составления уравнения и определения области изменения переменных.
Начальных условий здесь не будет, т.к. задача стационарная, а граничные условия не будут зависеть от времени:
Пишем уравнение:
Задаём область: пусть некоторая область D ограничена контуром Г, p – внутренние точки области D: .
Задаём краевые условия: (линейное краевое условие).
Первая краевая задача: - температура на границе
Вторая краевая задача: - поток тепла через границу
Третья краевая задача:
- Оглавление
- Первая и вторая формулы Грина с оператором, следствия.
- Гармонические функции. Интегральное представление. Их основные свойства.
- Примеры
- Свойства гармонических функций.
- Теорема о среднем для гармонических функций
- Теорема о максимумах и минимумах для гармонических функций. Единственность и корректность задач Дирихле.
- Следствия:
- Функция Грина для краевой задачи с уравнением Пуассона. Её построение методом отображений.
- Функция Грина для задачи с уравнением, понятия, определения.
- Решение задач с её помощью
- Построение функции Грина в одномерном случае на отрезке
- Теория потенциалов, определение, основные свойства.
- Объёмный потенциал
- Потенциал простого слоя
- Потенциал двойного слоя
- Решение задач Дирихле с уравнением Пуассона методом теории потенциалов
- Сводная таблица6 общие сведения о потенциалах:
- Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах математической физики, примеры.
- Уравнение с операторомс особенностью, свойства, ограниченность, постановка задачи.
- Уравнение Бесселя.
- Особенность, построение ограниченного решения .
- Общее решение, ,,,понятие о функциях .
- Асимптотика решений уравнения Бесселя, нули функции Бесселя.
- Краевая задача на собственные значения: ,её решение, ортогональность собственных функций, теорема Фурье-Бесселя б/д.
- Модифицированное уравнение Бесселя, ограниченность решения , свойства, общее решение, понятие о функции .
- Сводная таблица.
- Краевая задачас двумя особыми точками на концах отрезка. Граничные условия. Условия самосопряжённости оператора.
- Уравнение гипергеометрического типа.
- Приведение к самосопряжённому виду. Весовые функции . Уравнение для производных(в следующем пункте).
- Решение в виде полиномов. Формула Родрига.
- Ортогональные решения полиномов. Свойства нулей.
- Примеры: уравнения, краевые задачи, определение и свойства полиномов
- Полиномы Лежандра.
- Полиномы Чебышева-Лягера.
- Чебышева-Эрмита.
- Сводная таблица для уравнений гипергеометрического вида.
- Уравнения, краевая задача для присоединенных полином Лежандра. Решения. Основные свойства.
- Уравнение Лапласа в сферических координатах. Схема решения методом разделения переменных.
- Сферические функции, определения, построение системы базисных функций. Ортогональность, полнота, теорема о разложении, б/д.