Примеры
1: Линейная функция вида - гармоническая функция, т.к. удовлетворяет условиям.
2: Цилиндрические функции. Рассмотрим цилиндрическую систему координат (r,φ,z): и, тогда, если, то останется первое слагаемое:=0, решаем. Т.о. функция вида- гармоническая функция в т..
3: Сферические функции. Рассмотрим сферические координаты: и, тогда, если, то останется первое слагаемое:, решаем т.о. функция вида- гармоническая функция в т..
Получим формулу интегрального представления.
Пусть , тогда (согласно второй формуле Грина) получаем:. Эта формула верна в случае любых двух непрерывно дифференцируемых функций в областиD, а выбираем следующим образом:, (причём заметим, что- гармоническая функция),имеет особенность в областиD в точке P = Q. Вырежем её из области D: окружим её окружностью с центром в точке Р и радиусом -. Т.о. формула справедлива в областии появится ещё одно слагаемое:- интеграл по сфере, тогда:.
Рассмотрим последний интеграл:
Применим к первому слагаемому теорему о среднем: ,- точка на сфере. Перейдём к переделу:- первое слагаемое исчезло. Рассмотрим второе слагаемое:применим теорему о среднем,- точка на сфере, Перейдём к переделу:. Второе слагаемое:. Тогда второй интеграл перепишется в виде:, а интеграл, так как.
(Примечание: когда мы окружали окрестностьюточку р, это должно было отразится и на объёмном интеграле, но приэтот интеграл становится несобственный, но сходящийся. Тогда).
Таким образом, получили, что: , выражаем. Мы получили формулу для 3D случая (к(р) положим = 1) : .
В двумерном случае получаем аналогично: ,
- расстояние между точками p и Q.
- Оглавление
- Первая и вторая формулы Грина с оператором, следствия.
- Гармонические функции. Интегральное представление. Их основные свойства.
- Примеры
- Свойства гармонических функций.
- Теорема о среднем для гармонических функций
- Теорема о максимумах и минимумах для гармонических функций. Единственность и корректность задач Дирихле.
- Следствия:
- Функция Грина для краевой задачи с уравнением Пуассона. Её построение методом отображений.
- Функция Грина для задачи с уравнением, понятия, определения.
- Решение задач с её помощью
- Построение функции Грина в одномерном случае на отрезке
- Теория потенциалов, определение, основные свойства.
- Объёмный потенциал
- Потенциал простого слоя
- Потенциал двойного слоя
- Решение задач Дирихле с уравнением Пуассона методом теории потенциалов
- Сводная таблица6 общие сведения о потенциалах:
- Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах математической физики, примеры.
- Уравнение с операторомс особенностью, свойства, ограниченность, постановка задачи.
- Уравнение Бесселя.
- Особенность, построение ограниченного решения .
- Общее решение, ,,,понятие о функциях .
- Асимптотика решений уравнения Бесселя, нули функции Бесселя.
- Краевая задача на собственные значения: ,её решение, ортогональность собственных функций, теорема Фурье-Бесселя б/д.
- Модифицированное уравнение Бесселя, ограниченность решения , свойства, общее решение, понятие о функции .
- Сводная таблица.
- Краевая задачас двумя особыми точками на концах отрезка. Граничные условия. Условия самосопряжённости оператора.
- Уравнение гипергеометрического типа.
- Приведение к самосопряжённому виду. Весовые функции . Уравнение для производных(в следующем пункте).
- Решение в виде полиномов. Формула Родрига.
- Ортогональные решения полиномов. Свойства нулей.
- Примеры: уравнения, краевые задачи, определение и свойства полиномов
- Полиномы Лежандра.
- Полиномы Чебышева-Лягера.
- Чебышева-Эрмита.
- Сводная таблица для уравнений гипергеометрического вида.
- Уравнения, краевая задача для присоединенных полином Лежандра. Решения. Основные свойства.
- Уравнение Лапласа в сферических координатах. Схема решения методом разделения переменных.
- Сферические функции, определения, построение системы базисных функций. Ортогональность, полнота, теорема о разложении, б/д.