Ортогональные решения полиномов. Свойства нулей.
Эти полиномы ортогональны с весом на отрезке:. Где точкииэто: 1) если- полином второго порядка, тои- это нули полинома, т.е.; либо 2) если- полином первого порядка, то:и; либо 3) если- полином нулевого порядка, т.е., тои. Решениялибо ограничены в особых точках, либо растут не быстрее полинома на бесконечности. Ортогональность следует из самосопряженности оператора, т.к. [].
Докажем. Запишем вторую формулу Грина: .
Теорема: Если - нормальная система полиномов на , то все нули принадлежат и они действительные и простые (значит, напроисходитсмен знаков (корни не кратные), ортогональность означает осцилляцию со сменой знака полное число раз).
Доказательство. Пусть теорема не верна.
Пусть имеетперемен знака:. Следовательно, если теорема не верна, то. Рассмотрим, т.к. система нормальная, тообразует базис. Тогда- полином степени- это нормальная система. Рассмотрим(нормировка)
-
т.к. это интеграл от знакопостоянной функции.
Таким образом, получили противоречие, значит . Чтд.
- Оглавление
- Первая и вторая формулы Грина с оператором, следствия.
- Гармонические функции. Интегральное представление. Их основные свойства.
- Примеры
- Свойства гармонических функций.
- Теорема о среднем для гармонических функций
- Теорема о максимумах и минимумах для гармонических функций. Единственность и корректность задач Дирихле.
- Следствия:
- Функция Грина для краевой задачи с уравнением Пуассона. Её построение методом отображений.
- Функция Грина для задачи с уравнением, понятия, определения.
- Решение задач с её помощью
- Построение функции Грина в одномерном случае на отрезке
- Теория потенциалов, определение, основные свойства.
- Объёмный потенциал
- Потенциал простого слоя
- Потенциал двойного слоя
- Решение задач Дирихле с уравнением Пуассона методом теории потенциалов
- Сводная таблица6 общие сведения о потенциалах:
- Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах математической физики, примеры.
- Уравнение с операторомс особенностью, свойства, ограниченность, постановка задачи.
- Уравнение Бесселя.
- Особенность, построение ограниченного решения .
- Общее решение, ,,,понятие о функциях .
- Асимптотика решений уравнения Бесселя, нули функции Бесселя.
- Краевая задача на собственные значения: ,её решение, ортогональность собственных функций, теорема Фурье-Бесселя б/д.
- Модифицированное уравнение Бесселя, ограниченность решения , свойства, общее решение, понятие о функции .
- Сводная таблица.
- Краевая задачас двумя особыми точками на концах отрезка. Граничные условия. Условия самосопряжённости оператора.
- Уравнение гипергеометрического типа.
- Приведение к самосопряжённому виду. Весовые функции . Уравнение для производных(в следующем пункте).
- Решение в виде полиномов. Формула Родрига.
- Ортогональные решения полиномов. Свойства нулей.
- Примеры: уравнения, краевые задачи, определение и свойства полиномов
- Полиномы Лежандра.
- Полиномы Чебышева-Лягера.
- Чебышева-Эрмита.
- Сводная таблица для уравнений гипергеометрического вида.
- Уравнения, краевая задача для присоединенных полином Лежандра. Решения. Основные свойства.
- Уравнение Лапласа в сферических координатах. Схема решения методом разделения переменных.
- Сферические функции, определения, построение системы базисных функций. Ортогональность, полнота, теорема о разложении, б/д.