Потенциал двойного слоя
|
h
исчитаем конечными. | Пусть - двусторонняя поверхность с непрерывно меняющейся касательной плоскостью, и на ней распределены диполи с плотностью моментов, так, что оси их в каждой точке совпадают с положительным направлением нормали, то потенциал этого поля, созданного этими диполями:- потенциал двойного слоя. |
Пусть - двусторонняя поверхность с фиксированным направлением нормали. Вообразим, что в положительном направлении нормали мы отложили отрезки длинною. ГМТ концов этих отрезков образуют плоскость . Пусть на распределены отрицательные заряды с плотностью, а на- положительные с той же плотностью. Получим «двойной слой» зарядов противоположных знаков, который можно рассматривать как совокупность диполей, распределённых по поверхностями с плотностью . Потенциал поля, создаваемого диполем, «опирающимся» на элементы поверхностей и , равен . Потенциал поля, создаваемого всеми диполями:. Если устремимк нулю, то получим двойной слой на поверхности, его потенциал, аназывается несущей поверхностью. Поскольку, то
Свойство 1. Потенциал двойного слоя определён всюду.
Свойство 2. В точках , не лежащих на несущей поверхности, потенциал двойного слоя является гармонической функцией. Если, то этот интегралне является несобственным и поэтому:
Свойство 3. при стремлении точки наблюдения к бесконечности потенциал двойного слоя стремится к нулю.
Применим к теорему о среднем:, где.
Свойство 4. Если плотность дипольных моментов непрерывна на (S замкнута), то потенциал двойного слоя имеет разрыв первого рода в точках несущей поверхности со скачком равным., гдеи.
- Оглавление
- Первая и вторая формулы Грина с оператором, следствия.
- Гармонические функции. Интегральное представление. Их основные свойства.
- Примеры
- Свойства гармонических функций.
- Теорема о среднем для гармонических функций
- Теорема о максимумах и минимумах для гармонических функций. Единственность и корректность задач Дирихле.
- Следствия:
- Функция Грина для краевой задачи с уравнением Пуассона. Её построение методом отображений.
- Функция Грина для задачи с уравнением, понятия, определения.
- Решение задач с её помощью
- Построение функции Грина в одномерном случае на отрезке
- Теория потенциалов, определение, основные свойства.
- Объёмный потенциал
- Потенциал простого слоя
- Потенциал двойного слоя
- Решение задач Дирихле с уравнением Пуассона методом теории потенциалов
- Сводная таблица6 общие сведения о потенциалах:
- Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах математической физики, примеры.
- Уравнение с операторомс особенностью, свойства, ограниченность, постановка задачи.
- Уравнение Бесселя.
- Особенность, построение ограниченного решения .
- Общее решение, ,,,понятие о функциях .
- Асимптотика решений уравнения Бесселя, нули функции Бесселя.
- Краевая задача на собственные значения: ,её решение, ортогональность собственных функций, теорема Фурье-Бесселя б/д.
- Модифицированное уравнение Бесселя, ограниченность решения , свойства, общее решение, понятие о функции .
- Сводная таблица.
- Краевая задачас двумя особыми точками на концах отрезка. Граничные условия. Условия самосопряжённости оператора.
- Уравнение гипергеометрического типа.
- Приведение к самосопряжённому виду. Весовые функции . Уравнение для производных(в следующем пункте).
- Решение в виде полиномов. Формула Родрига.
- Ортогональные решения полиномов. Свойства нулей.
- Примеры: уравнения, краевые задачи, определение и свойства полиномов
- Полиномы Лежандра.
- Полиномы Чебышева-Лягера.
- Чебышева-Эрмита.
- Сводная таблица для уравнений гипергеометрического вида.
- Уравнения, краевая задача для присоединенных полином Лежандра. Решения. Основные свойства.
- Уравнение Лапласа в сферических координатах. Схема решения методом разделения переменных.
- Сферические функции, определения, построение системы базисных функций. Ортогональность, полнота, теорема о разложении, б/д.